Jaga pooleks – kolmnurgad ja ruudud
Meieni on saabunud uus aasta, 2019. See ei ole algarv. Numbrite summa on 2 + 0 + 1 + 9 = 12, mis tähendab, et arv jagub 3-ga. Algarv peab ootama kaua, kuni 2027. aastani. Ometi elavad väga vähesed selle episoodi lugejad kahekümne teise sajandini. Aga kindlasti on nad sellised siin maailmas, eriti õiglane sugu. Ma olen kade? Mitte päris... Aga ma pean kirjutama matemaatikast. Viimasel ajal olen üha rohkem kirjutanud algharidusest.
Kas ringi saab jagada kaks võrdset poolt? Kindlasti. Mis on nende osade nimed, mida saate? Jah, pool ringi. Kas ringi jagamisel ühe joonega (ühe lõikega) on vaja tõmmata joon läbi ringi keskpunkti? Jah. Või äkki mitte? Pidage meeles, et see on üks lõige, üks sirgjoon.
Kas olete veendunud, et kõik ringi keskpunkti läbiv sirgjoon jagab need võrdseteks osadeks? Kas olete veendunud, et ringi jagamiseks ühe sirge võrdseteks osadeks peate selle tõmbama läbi keskpunkti?
Õigusta oma usku. Ja mida tähendab "õigustada"? Matemaatiline tõestus erineb "tõestusest" juriidilises mõttes. Advokaat peab kohtunikku veenma ja seega sundima Riigikohut tuvastama, et klient on süütu. Minu jaoks on see alati olnud vastuvõetamatu: kui palju sõltub kohtualuse saatus “papagoi” sõnaosavusest (nii iseloomustame advokaati veidi halvustavalt).
Matemaatiku jaoks usust üksi ei piisa. Tõestus peab olema formaalne ja tees peab olema eelduse loogilises järjestuses viimane valem. See on üsna keeruline kontseptsioon, mida on igapäevaelus peaaegu võimatu rakendada.
Võib-olla on nii parem: kohtuasjad ja "matemaatilisel loogikal" põhinevad laused oleksid lihtsalt ... hingetud. Ilmselt juhtub seda üha sagedamini. Aga ma tahan lihtsalt oh.
Isegi lihtsate asjade ametlik tõendamine võib tekitada raskusi. Kuidas tõestada mõlemat uskumust ringi jagamise kohta? Seda lihtsam on kõigepealt iga keskpunkti läbiv sirgjoon jagab ringi kaheks võrdseks osaks.
Võime öelda nii: pöörame joonisel 1 olevat joonist 180 kraadi võrra. Seejärel muutub roheline kast siniseks ja sinine kast roheliseks. Seetõttu peavad neil olema võrdsed ruudud. Kui tõmbate joone mitte läbi keskpunkti, on üks väljadest selgelt väiksem.
Kolmnurgad ja ruudud
Nii et lähme edasi ruut. Kas meil on sama:
- iga ruudu keskpunkti läbiv sirge jagab selle kaheks võrdseks osaks?
- Kui sirgjoon jagab ruudu kaheks võrdseks osaks, kas see peaks läbima ruudu keskpunkti?
Kas me oleme selles kindlad? Olukord on teistsugune kui ratta puhul (2-7).
lähme Võrdkülgne kolmnurk. Kuidas sa selle pooleks lõikad? Lihtne – lihtsalt lõigake ülaosa ära ja risti alusega (8).
Tuletan teile meelde, et kolmnurga alus võib olla selle mis tahes külg, isegi kaldus. Lõige läbib kolmnurga keskpunkti. Kas mõni kolmnurga keskpunkti läbiv sirge poolitab selle?
Mitte! Vaata joon. 9. Igal värvilisel kolmnurgal on sama pindala (miks?), nii et suure kolmnurga ülaosas on neli ja alumisel kolmnurgal viis. Väljade suhe ei ole 1:1, vaid 4:5.
Mis siis, kui jagame aluse näiteks neljaks osaks ja jagame võrdkülgse kolmnurga lõigata läbi keskosa ja läbi punkti veerandis alusest? Lugeja, kas näete joonisel 10, et "türkiissinise" kolmnurga pindala on 9/20 kogu kolmnurga pindalast? sa ei näe? Kahju, ma jätan selle teie otsustada.
Esimene küsimus - selgitage, kuidas see on: jagan aluse neljaks võrdseks osaks, tõmban sirge läbi jagamispunkti ja kolmnurga keskpunkti ning vastasküljel saan kummalise jaotuse, vahekorras 2: 3? Miks? kas sa oskad arvutada?
Või äkki oled sina, Lugeja, sel aastal abiturient? Kui jah, siis määrake, millises ridade asukohas on väljade suhe minimaalne? Sa ei tea? Ma ei ütle, et peaksite selle kohe parandama. Ma annan sulle kaks tundi.
Kui sa seda ei lahenda, siis... no edu gümnaasiumi lõpuvõistlustel igatahes. Tulen selle teema juurde tagasi.
Ärka üles iseseisvus
- Kas sa saad olla üllatunud? See on matemaatika-, füüsika- ja astronoomilise kuukirja Delta ajakirjas Delta kaua aega tagasi avaldatud raamatu pealkiri. Heitke pilk ümbritsevale maailmale. Miks on liivase põhjaga jõed (vesi peaks ju kohe imenduma!).
Miks pilved õhus hõljuvad? Miks lennuk lendab? (peaks kohe kukkuma). Miks on mägedes tippudel mõnikord soojem kui orgudes? Miks on päike lõunapoolkeral keskpäeval põhjas? Miks on hüpotenuusi ruutude summa võrdne hüpotenuusi ruuduga? Miks tundub, et keha vette sukeldades kaotab kaalu, kuna see tõrjub vett välja?
Küsimused, küsimused, küsimused. Kõik need ei ole kohe igapäevaelus rakendatavad, kuid varem või hiljem siiski. Kas mõistate viimase küsimuse (vee all oleva keha poolt väljatõrjutud vee kohta) tähtsust? Seda mõistes jooksis eakas härra alasti mööda linna ringi ja hüüdis: "Eureka, ma leidsin!" Ta mitte ainult ei avastanud füüsikaseadust, vaid tõestas ka, et kuningas Heroni juveliir oli võltsija!!! Vaadake üksikasju Interneti sügavustest.
Vaatame nüüd teisi kujundeid.
Kuusnurk (11-14). Kas mõni selle keskpunkti läbiv sirge poolitab selle? Kas joon, mis poolitab kuusnurka, peaks läbima selle keskpunkti?
Kuidas oleks viisnurk (15, 16)? Kaheksanurk (17)? Ja selleks ellipsid (18)?
Kooliteaduse üks puudujääke on see, et me õpetame "XIX sajandil" – anname õpilastele probleemi ja ootame neilt selle lahendamist. Mis selles halba on? Mitte midagi - välja arvatud see, et mõne aasta pärast peab meie õpilane mitte ainult vastama käsklustele, mille ta kelleltki "sai", vaid ka nägema probleeme, sõnastama ülesandeid, navigeerima piirkonnas, kuhu keegi pole veel jõudnud.
Olen nii vana, et unistan sellisest stabiilsusest: "Õppige, John, tee kingad ja sa töötad elu lõpuni kingsepana." Haridus kui üleminek kõrgeimasse kasti. Huvi kogu ülejäänud eluks.
Aga ma olen nii "kaasaegne", et tean, et pean oma õpilasi ette valmistama ametiteks, mida ... veel ei ole. Parim, mida ma teha saan ja saan teha, on näidata õpilastele: KAS MUUTATE END? Isegi elementaarse matemaatika tasemel.
Vaata ka:
