Kuidas matemaatika suursugususes petta, manipuleerida ja end soodsas valguses esitleda?

2020. aasta novembri alguses viitas Mateusz Morawiecki Matemaatilise Modelleerimise Keskuse matemaatikutele, et nad näitasid, et naiste streik põhjustas nakkuste arvu suurenemise 5000 võrra. Mul on selles keskuses sõpru – nad said teada alles sellest, et nad olid seda ennustanud hr kõne Mateuszile.

Rõhutan, et võib-olla vastupidiselt artikli pealkirjale ei hakka ma praegust peaministrit kiitma ega kritiseerima. ma arvan, et matemaatika ei ole tema tugevus, kuid selline intellektuaalne puudujääk ei tekita enamikul teist vastuväiteid. Ja üldiselt, kas suurepärane matemaatik poleks vastutusrikkal positsioonil, kuid mitte elu- ja poliitikatark? Mainin ka ära, et Donald Tusk ütles oma endise presidendikampaania ajal (nagu naljatades): "Matemaatikaeksameid ei saa kirjutada ilma allalaadimiseta." Tead, matemaatikapilv on sinu mees, nagu minagi. Julian Tuwim oli snooblik oma matemaatika mitteteadmise suhtes. Ja nad kutsusid mind juhatusse. Märgin vaid ära, et meil oli Poolas matemaatika esmaesitlus. See oli (viis korda) Kazimierz Bartel, 1882-1941, Lvivi polütehnikumi rektor, suurepärane geomeetria. Ma ei saa ega üritagi tema valitsemise üle kohut mõista.

Suu pühkimine on mitmekülgne ja vana. Sellest on kirjutatud nii õhukesi kui pakse raamatuid. Võimalusi on palju, ma räägin mõnest, alustan neist, mis on õmmeldud paksude niididega. Võib-olla oli varem selliseid meetodeid veelgi rohkem, sest monumentaalses ja esimeses omalaadses poola keele sõnaraamatus Samuel Bogumil Linde (ilmus 1807-1814) loeme:

Matemaatik, matemaatik, matemaatiline žonglöör.

Me ei tea kõige lihtsamaid tegusid ja tahame tõesti end tõestada. Mõni aasta tagasi kirjutas Olsztyni ajakirjanik pika paljastamise sellest, kuidas tootjad meid petavad. Näiteks: võipakil on kirjas “rasvasisaldus 85 protsenti” – kas see on 85 protsenti kuubis või kilogrammis? Kogu Poola siristas. Aga ainult targad matemaatikaõpetajad (ehk siis kõik matemaatikaõpetajad!) märkasid ühe meie endise peaministri Kazimir Martsinkevitši arutlusveas aastaid tagasi. Muudan natuke numbreid, et oleks lihtsam näha. Ta ütles umbes nii: kulutasime tee-ehitusele 150 miljonit zlotti ja Brüsselist saime 50 miljonit, seega kulutame ainult 100. Säästsime 50 protsenti. Noh, 50/100 on 50 protsenti. Kus on viga? Ja kui meil oleks 100 miljonit, kui palju me säästaksime? Viga on peen. Protsentidest rääkides on oluline selgitada, kust me need saame. See on õpetajate väga levinud viga. Nad ütlevad, et protsent on üks sajandik. See pole lubatud! Sada protsenti, aga alati on midagi. Kui kulutame 150 ja kulutame 100, säästame 50-st 150, mis on 33%. Peaminister Martsinkevitš oli füüsikaõpetaja. Ta kas oli nii halb õpetaja, et ei saanud protsentidest aru, või manipuleeris nendega meelega, et saada parim poliitiline efekt. Mina eelistaks tegelikult viimast. Tuletan meelde üht väga vana, sõjaeelset anekdooti. "Isa, ma säästsin täna 20 senti!" „See on väga hea, poeg! Kuidas? "Ma ei sõitnud trammiga kooli, ma jooksin sellele järgi!" "Ah, poeg, jookse teist korda takso järele - säästate 5 zlotti!"

Ideid, ideid! Enamik nn loomingulise raamatupidamise ideid põhinevad seaduselünkadel (põlvili kirjutatud seadus = jama) ja kalduvad kõrvale keskmise mõistest. Siin on näide: kuidas saab keskmist palka langetades tõsta kõigi palka? Lihtne: tehke väike palgatõus neile, kes juba töötavad, ja palkage seda tehes palju alamakstud inimesi. Keskmine langeb... ja globaalse palgafondi kontekstis ei tulnud see kõne allagi. Väidetavalt käitus kuni 1989. aastani nii teatud riigiettevõtte direktor.

Võidelda saab otse, kasutades ära paljude ühiskonnaringkondade matemaatilist kirjaoskamatust ja kombineerides matemaatikat (??) kirjandusega (??). Siin on demagoogiline, kuid ilukirjanduslik tekst (tõelise väljaande põhjal, enne 2010. aastat tähelepanu).

Õdedel läheb paremini. Kaks aastat tagasi oli Sochaczewi maakonna õe keskmine netopalk 1500 Poola zlotti. Eelmisel aastal suurendas valitsus kulutusi tervishoiule poole miljardi zloti võrra. Seda on kaks korda rohkem kui eelmistel aastatel. Hermenegilda KotsiubynskaKliinilise Keskhaigla õde ütleb: eelmisel kuul oli mu palk 4500 zlotti. See tähendab tohutut, kolmekordset tervishoiutulude kasvu.

Kas on kedagi, keda petta? Isegi kui numbrid on samad, näete siin, mida me võrdleme. keskmine palk provintsihaiglas ühe inimese palgaga antud kuus. Võib-olla on Hermenegilda õdede juhataja, võib-olla oli tal sel kuul palju lisavahetusi ja pealegi on CRH-s spetsiaalne palgaskaala? Lisaks on nimetatud 1500 500 500 Poola zlotti netopalk ja pole täpsustatud, kas pr Kociubinska palk on neto- või brutopalk. Pool miljardit on üksikisiku jaoks tohutu summa, aga mida see riigi tasandil tähendab? Märgime kohe, et “pool miljardit” kõlab paremini propagandana kui “500 miljonit”. Millele XNUMX miljonit zlotti läks, seda ei teata. Ei ole teada, miks XNUMX miljonit zł kaks korda rohkem.

Kuidas ma saan oma õpitulemusi parandada? Haridusasutused kritiseerivad kooli X halbade haridustulemuste pärast (st madal GPA, kuigi need on erinevad asjad!). Koolijuht leiab võimaluse, kuidas asja veidi paremaks muuta. Ta viib mitu õpilast A-klassist B-klassi ja saavutab oma eesmärgi: mõlema klassi keskmine punktisumma on tõusnud.

Kuidas on see võimalik? Kui A-klassis on õpilane, kelle GPA on A-klassi keskmisest madalam, kuid C-klassi keskmisest kõrgem, siis on tema B-klassi viimine sama mõjuga. Usk põhineb sellel mõjul Mechyslav Chuma i Leshek Mazan, "Galicia entsüklopeedia" autorid (kirjastus "Anabasis", Krakov), et päeval, mil Sigismund III Vasa ja tema õukond Varssavisse kolisid, tõusis mõlemas linnas keskmine intelligentsuse tase.

Me kipume andmeid tõlgendama. See on kõige levinum mitteelementaarne venitus. Alustan kõige rumalama, kuid usaldusväärsema näitega. Palju-palju aastaid tagasi teatas nüüdseks kadunud Express Wieczorny, et Varssavi ülikooli keskmine palk on 15000 24 6 zlotti (siis złot). Rektor pidi saama kõrgeimat palka, 15, madalaim algaja assistent XNUMX. Keskmine XNUMX!!! manipuleerimine keskmise mõiste on habilitatsiooni teema.

Siin on veel kaks näidet. Kas tead, et Poolas on keskmisel inimesel vähem kui kaks jalga? No jah: on neid, kellel on üks, aga kellelgi pole kolme! Teine näide on peenem. Noh, mul ja mu naisel on oma autod. Minu vedaja kulutab palju kütust, 12,5 liitrit 100 km kohta. See tähendab, et 100 km läbimiseks vajan 8 liitrit. Mu naisel on tilluke Mitsubishi – see kulutab 8 liitrit 100 km kohta. Seda on ka palju, kuid selleks, et arvutused oleksid lihtsad, tuleb andmeid veidi töödelda. Sõidame tihti samaga. Seetõttu on meie kahe auto keskmine kütusekulu aritmeetiline keskmine 8 ja 12,5. Lisage, jagage 2-ga. Selgub 10,25 liitrit. Muidugi on oluline, et sõidame sageli ühtemoodi. Kus on siis manipuleerimise ulatus?

Oh, siin. Kas teadsite, et USA kütusekulu arvutatakse erinevalt? Nad vastavad: "Ma sõidan ühest gallonist nii palju miile." Jätame gallonite teisendamise liitriteks ja miilide kilomeetriteks, kuid rakendame seda eelmainitud autode puhul: minu ja Meie abielu ainsa ülevaatetabel. Mina sõidan ainult 8 km liitri kohta (100 jagatud 12,5-ga), mu naine 12,5 km (100 jagatud 8-ga). Keskmiselt kulub meile üks liiter ... nende arvude aritmeetilise keskmise. Oleme selle juba korra välja arvutanud. Selgub 10 ja veerand – seekord 10,25 kilomeetrit.

Tuleme tagasi Euroopa standardite juurde. Kui ma sõidan ühe liitriga 10,25 km, siis mitu liitrit vajate 100 jaoks? Võtame kalkulaatori: 100 jagatud 10,25-ga on ... 9,76. Meie autode keskmine kulu on 9,76 ... ja enne seda oli 10,25. Kus on viga? Ei! Tegelikult mitte matemaatikas, vaid sõnade "me reisime võrdselt sageli" tõlgenduses. Hoolikas analüüs näitab, et esimeses tõlgenduses tähendab see "sõidame kuus sama arvu kilomeetreid" ja teises "kasutame sama palju bensiini". Lisada võiks veel kolmanda muutuja: me kulutame sama palju aega sõites (naine sõidab palju kiiremini)... ja see oleks teistsugune. Kui me midagi mõõdame, peab meil olema mõõdulint.

peenemad olukorrad. Simpsoni paradoks. Uurime, mis on parem kõõma eemaldamiseks: Coca-Cola või Pepsi-Cola. Testime naiste ja meeste peal. Siin on andmed. Peaaegu kõiki arvutusi saab teha mälus.

Palun, lugeja, istu maha. Lihtsalt selleks, et tundest mitte välja kukkuda. Mis on parim jook kõõma eemaldamiseks meestel? Suuremad numbrid olen märkinud punasega ja väiksemad sinisega. 25 on rohkem kui 20, eks? Härrased: ostke kõõma vastu koksi! Aga naised? Ilmselt vastupidi? Ei, 60> 53. Daamid, võtke koksi.

Firma ostab televisiooni reklaame, kus õnnelik paar (vanal moel: mees ja naine) Coca-Cola abiga sellest kergest hädast lahti saab. Aga seal on Pepsi reklaam. Noh, sest nii siin kui siin oli testis 250 inimest, mis tähendab, et nad jagunesid võrdselt. Coca-Cola aitas 80 inimest (32%), Pepsi 100 inimest, 40%. Ekraanil ajab rahvas kõõmast lahti, samal ajal kui Pepsi purk kaamera ees veereb. "Meie põlvkond on juba valinud!"

Kus on viga? Ei. Tähendab, matemaatika on korras. Või pigem lihtsalt aritmeetika. Et olla matemaatiliselt õige, peame võtma võrreldavad proovid, mille M osakaal on sama kui K. Muidu pole arvutustel mõtet, nagu arvutaksime sääse ja elevandi keskmist kaalu. Saame liita ja kahega jagada. Mida me arvutasime? Noh, sääse ja elevandi keskmine kaal. Mida see meile annab? Lõng.

Aga võtame selle poliitikasse, muidugi USA-sse. Ühe kandidaadi toetajad, ütlevad Bump, nutaks: oleme paremad nii daamidele kui härradele. Hääletage Jozef Podskoki poolt! Trideni toetajad kirjutaksid bänneritele: Oleme maailma parimad. Hääleta part 3 densiga (Donald).

Olgu, kuidas see tegelikult on? See on kõige raskem osa. Mida tähendab "tõesti"? Võime öelda: "Tõsi on see, mis vastab tegelikkusele." Tekib aga teine küsimus: kuidas mõõta "vastavust tegelikkusele"? Kuid see pole enam matemaatika ja ma tahaksin selle juurde jääda, sest ainult siin tunnen end enesekindlalt.

Selle paradoksi kohta (nn Simpsonite paradoks) põhineb paljudel, paljudel teistel. Matemaatikas on see tuntud juba sada aastat, kuid (suhteliselt) hiljuti on selle vastu huvi tundnud sotsiaalteadused. Kõik sai alguse sellest, et ühes Ameerika ülikoolis märkas rektor, et tüdrukuid võetakse palju vähem vastu kui poisse. Ta küsis dekaanidelt aruandeid... ja selgus, et igas teaduskonnas oli tüdrukute ja kandidaatide suhe kõrgem kui poistel – ja vastupidi. Soovitan lugejal Pepsi ja Coca-Cola näide ülikoolide osakondade olukorda ümber valada.

Veel peenem olukord. Kõik matemaatikamaailmas teavad "Nebraska näidet". Kusagil Nebraskas tungiti kauplusesse ja rööviti kassaaparaat. Tunnistajad mäletasid vaid, et seda tegi üks kummaline paar: tumedanahaline habemega mees ja idamaiste näojoontega naine. Nad lahkusid (rehvid krigisevad nagu filmis) kollases Toyotas. Mõni tund hiljem pidas politsei kinni ... kollase Toyota, milles oli habemega afroameeriklane, kaasas Aasia naine. "See oled sina!". Käerauad, kohus. Kogenud matemaatik arvutas välja, et selline komplekt (neegri + Aasia + kollane Toyota) on nii ainulaadne, et 99,999% röövlitest on tagaotsitavad. Ta viskas saali päheõpitud termineid: elementaarsündmused, Bernoulli diagramm, konjunktsioon. Paar läks istuma. Siiski palkasid nad parima matemaatiku, kes ütles pöördumises: „Hea. Otsustage ise, mu eelkäija arvutas välja, et tõenäosus, et juhuslikult sattunud kahe reisijaga auto on kollane Toyota mustaga ja jaapanlanna on selline ja selline. Kuid siin tuleb lahendada veel üks probleem, tingimuslik tõenäosus. Kui suur on tõenäosus kohtuda teise paariga (või kolmega, kui masina sisse lülitada), kui teame, et selline on juba olemas. »

Me ei tea, kas kohtunik sai mõnestki argumendist aru. Võib-olla ainult see, et vastus sõltub olukorra valikust. Sellest piisas. Ta tühistas karistuse.

Löök pulgaga pähe. Oleme sellist demagoogiat alati käsitlenud (1).

Baarid on kohutavad: kivisöe hinnad on kahekordistunud. Numbrite vaatamine on rahustav: need on tõepoolest tõusnud 161 zlottilt tonni kohta 169 zlottile (harjutus: mitme protsendi võrra?). Kuid kuna enamik inimesi õpib visuaalselt, mäletavad nad graafikut, mitte numbreid. Laskumata poliitilistesse aruteludesse, pean ütlema, et valitsus kasutas sarnast meetodit (2020. aasta suvest), kujutades ette kulutuste kasvu vähile. See ei ole selle valitsuse kriitika. Ka järgmine kasutab seda meetodit. See on ohutu ja annab kohese efekti ("nähtud").

Kandkem maske. Epideemiate leviku seadused on lihtsad ja "iseenesest" vääramatud. Nakatunud inimeste arv kasvab kiiremini, seda rohkem neid juba on. Nii see laviin läheb. Seda ütleb matemaatika. Siiski on üks suur "aga" – võib-olla rohkem kui üks. Esiteks on see nii, samas kui "midagi ei juhtu". Kui metsas laviin peatatakse, kui epideemiat pidurdab meie kõigi tark käitumine, siis ei hakka me niivõrd matemaatikat “tänama”, kuivõrd looma teistsuguse mudeli. Jah, teistsugune matemaatiline mudel (nagu Nebraska poe röövimise näites). Matemaatika, ilus teadus, aitab ainult maailma mõista. Nii palju, aga ainult nii palju. Vaatame: teivaga hüppame ligi kuus meetrit, ilma selleta ei saa isegi 2,50 hüpata. Seejärel võta pulk pihku ja hüppa. Ta on pagana tülikas, kas pole?

kasutamise matemaatika sotsiaalteadustes see on raske, ohtlik ja veel hullem, ahvatlev. Tatrate asjatundjad seostavad seda Drege kuristikuga: õrn, rohune laskumine Granaatidest Chyorny Stavini ... Nii näeb see ülevalt välja. Peagi muutub kuristik lõksuks, millest suudab meid päästa vaid Tatra Vabatahtlik Päästeteenistus TOPR.

Matemaatikud nimetavad seda laviinide ja epideemiate kasvu eksponentsiaalseks kasvuks. Nagu ma juba kirjutasin, saab seda kasvu maha suruda, kuid mitte uuesti. Vaatame siiski kahte sama kõvera graafikut (lihtsalt erinevas skaalas). Kes aru saab, annan selle funktsiooni valemi: y = 2^xkaks võimule. Palun vaadake diagramme. Millisest hetkest alates toimub kiire kasvu kiirenemine? Kõik näitavad: see on enam-vähem lähedal suure punktiga tähistatud punktile. Kuid esimesel graafikul on see väärtus 1,5 lähedal, teisel rohkem kui 3 ja kolmandal 4,5. Kui siis on mingid tänavademonstratsioonid, siis võib öelda: palun, meeleavalduse hetkest alates läks kurv üles, tõusis järsult. Matemaatika hiilguses! Ja see on lihtsalt eksponentsiaalkõvera omadus. Vastava skaala ja punkti, millest kiire kiirendus algab, saab vabalt valida (2).

Presidendivalimised ... USA-s muidugi. Mäletame siiani 2020. aasta novembri farssi. Riik, mis on endiselt suurriik nr 1, pole lehekülgede arvuga toime tulnud. Lõpuks selgus, et Joe Biden ta mitte ainult ei võitnud rohkem valijate hääli, vaid ta oleks võitnud ka siis, kui otsus oleks tehtud lihthäälteenamusega. Olukorras, mida ma kirjeldan, pole matemaatilist manipuleerimist – lihtsalt näide sellest, kuidas vastuvõetud resolutsioonist võib sõltuda valimiste tulemus. Kui tead, siis on raske protesteerida. Jalgpallis mängiv kaitsja võib käsipallikeeldu pidada valeks, kuid kui seda eiratakse, määratakse penalti.

Kujutage ette, et Kreeka presidendiks kandideerivad järgmised isikud: Apollonius, Eukleides, Heron, Pythagoras i Selline. Kelle valijad valivad, saab presidendiks. Neid on 100. Nad valiti rahvahääletusel ja seejärel panid parlamendis esindatud erakonnad ehk Circus Maximus paika oma eelistuste järjekorra. Midagi on valesti, sest Circus Maximus on ladinakeelne, mitte kreeka nimi. Aga ärme vaidle allikatega.

Kellest saab president? Vaatame, kuidas see ordinatsioonist sõltub. Erakonna eelistusi tuleks mõista nii, et selle valijad hääletaksid pärast järgmist vooru valimistel nimekirjast esimesena jäänud isiku poolt.

Kui määrus näeb ette, et võidab kandidaat, kes paneb enim valijaid esikohale, võidab Pythagoras, sest ta valitakse 25 + 9 = 34 valija poolt. Nii juhtub koolis, kui valime näiteks parima õpilase. Meie asemel: Pythagorase valib rahvas!
Kaasaegsetel presidendivalimistel kasutatakse kõige sagedamini teise vooru süsteemi. Hääletame ühe kandidaadi poolt, aga kui ükski neist ei ületa 50 protsenti, korraldatakse teine voor. Võidab see, kes kogub absoluutse enamuse häältest, st lihtsalt rohkem hääli kui tema vastane. Selle stsenaariumi järgi pääsevad teise vooru Pythagoras (34 häält) ja Thales (20). Teises voorus jagavad valijad oma hääled vastavalt oma eelistustele. Kõik peale pythagoraslaste eelistavad Thalest Pythagorasele. See on tavaline olukord, kus erakonna valijaskond on karm ja teda ümbritseb üldine vastumeelsus. Nii et lisaajal ei saa Pythagoras ühtegi häält. Tulemus 66:34 Thalese kasuks ja otsustav võit. Sarnane olukord tekkis 2001. aastal Slovakkias, kus esimese vooru selgelt võitnud kandidaat kaotas teises. Samamoodi oli 2005. aasta Poola presidendivalimistel: liider alistati teises pärast esimest vooru. Elagu presidendijutud!
Jalgrattasõidus kasutatakse nn Austraalia süsteemi. Pärast iga raja ringi langeb viimane välja. Seda valimisseaduse versiooni nimetatakse "direktorite valimisteks". Selle süsteemi alusel valiti iseseisva Poola esimene president Gabriel Narutowicz. Kuidas see meie Kreekas välja näeks?

Asi on keerulisem. Palun jälgi. Esimeses voorus sai Eukleides kõige vähem hääli ja langes välja (kui kahju, nii hea matemaatik!). Seejärel hääletab erakond teises voorus oma nimekirjas teise: Tsaplya poolt. Teises voorus on Heronil 19 + 10 = 29 häält. Apollonius langeb välja (17 häält). Pidage pidu ja hääletage siis Heroni poolt. Kolmandas voorus on Pythagorasel (fikseeritud valijaskond) 34 häält, Thalesel 20 ja Heronil 29 + 17 = 46 häält. Lood on väljas. Ka falesilastele (partei B) ei meeldi pütagoorlased – nad eelistavad heeroldeid. Teised ka, välja arvatud stabiilsed parteid A ja E. Viimases kurvis alistab Heron Pythagorase kergelt 66:34. Elagu president Heron!

4. Eurovisiooni lauluvõistlusel anti nimekirja esikoha eest 12 punkti, teise koha eest 10, kolmanda eest 9 jne. Oletame umbes sama tulemuse 6-4-3-2-1. Nii jagati punkte kolmes kergejõustikumatšis (kolm meeskonda, igal võistlusel kaks mängijat, 1958. aastal võitis Poola USA ja Suurbritannia ees!). Meie tulemused on järgmised:

Euklides: 4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz: 2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras: 6+1+1+1+1+6=16.

Kreeklased, siin on teie president Euclid!

5. Lugejad arvavad, et meil tuleb vaid hääled kokku lugeda, et selgub, et Apollonius on parim. Tõepoolest, Apollonius on parim – sest ta on parim. Kõik kaotavad Apolloniusele! Miks?

Kui paljud valijad asetasid Apolloniuse Heronist kõrgemale? Arvutame: 25+17+9=51 tähendab enamust. Mitte palju, aga siiski.

Kui kaugel on Apollonius Eukleidest ees? 20 + 19 + 17 = 56, enamik neist.

Kui paljud eelistavad Apolloniust Thalesele: 19+17+10+9=55>50.

Lõpuks eelistab Pythagorase Apollonius 20 + 19 + 17 + 10 = 66 valijat 100-st.

Sellest ajast peale – kreeka rahvas, kes on võimeline loogiliselt mõtlema –, sellest ajast peale eelistab Apollonius ennekõike kõiki teisi kandidaate; on ju tema see, kes meid järgmiseks ametiajaks valitsema peaks! Tule lähemale, Apollonius, meie valitud president! Sinust saab meie 44.