Koroonaviirus ja matemaatikaõpe – osaliselt tellitud kogud
Meid tabanud viirus juhib kiiret haridusreformi. eriti kõrgematel haridustasemetel. Sellel teemal saab kirjutada pikema essee, kindlasti tuleb kaugõppe metoodikast doktoritööd. Teatud vaatenurgast on see tagasipöördumine juurte ja unustatud iseõppimisharjumuste juurde. Nii oli see näiteks Kremenetsi keskkoolis (praeguses Ukrainas Kremenetsis, mis eksisteeris 1805-31, vegeteeris 1914. aastani ja koges oma hiilgeaega 1922-1939). Õpilased õppisid seal omal käel - alles peale õppimist tulid õpetajad sisse paranduste, lõplike täpsustustega, abiga rasketes kohtades jne. e.Kui minust sai tudeng, siis öeldi ka, et peaksime ise teadmisi omandama, et ainult tellida ja saata tunde ülikooli. Aga siis oli see vaid teooria...
2020. aasta kevadel pole ma ainuke, kes avastas, et tunde (sh loengud, harjutused jms) saab väga tõhusalt läbi viia kaugjuhtimisega (Google Meet, Microsoft Teams jne), suure töö hinnaga. õpetaja poolt ja lihtsalt soov "haridust omandada" teiselt poolt; aga ka mõningase mugavusega: istun kodus, oma toolil ja traditsioonilistes loengutes tegid tudengid sageli ka midagi muud. Sellise koolituse mõju võib olla isegi parem kui traditsioonilise, keskajast pärit klassi-tundide süsteemiga. Mis temast järele jääb, kui viirus põrgusse läheb? Ma arvan... päris palju. Aga eks me näe.
Täna räägin osaliselt tellitud komplektidest. See on lihtne. Kuna binaarset seost mittetühjas hulgas X nimetatakse osalise järjestuse seoseks, kui see on olemas
(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filosoof,
Poola Teaduste Akadeemia president aastatel 1957–1962).
- Refleksiivne, st iga ∈ jaoks on olemas ",
- Mööduja, st. kui ", ja ", siis ",
- Poolasümmeetriline, s.t. ("∧")→ =
String on kogum, millel on järgmine omadus: mis tahes kahe elemendi puhul on see komplekt kas "või y". Antichain on...
Peatu, peatu! Kas sellest saab midagi aru? Muidugi on. Aga kas keegi Lugejatest (teades teisiti) on juba aru saanud, mis siin on?
ma ei usu! Ja see on matemaatika õpetamise kaanon. Ka koolis. Esiteks korralik range määratlus ja siis saavad kindlasti millestki aru need, kes igavusest magama ei jäänud. Selle meetodi kehtestasid "suured" matemaatikaõpetajad. Ta peab olema ettevaatlik ja range. See on tõsi, et nii see lõpuks peakski olema. Matemaatika peab olema täppisteadus (Vaata ka: ).
Pean tunnistama, et ülikoolis, kus töötan pärast Varssavi ülikoolist pensionile jäämist, õpetasin ka nii palju aastaid. Ainult selles oli kurikuulus külma vee ämber (jäägu see nii: ämbrit oli vaja!). Järsku muutus kõrge abstraktsioon kergeks ja meeldivaks. Pöörake tähelepanu: lihtne ei tähenda kerget. Kergepoksijal on ka raske.
Ma naeratan oma mälestustele. Matemaatika põhitõdesid õpetas mulle osakonna toonane dekaan, esmaklassiline matemaatik, kes oli just saabunud pikalt viibimiselt USA-st, mis tol ajal oli iseenesest midagi erakordset. Ma arvan, et ta oli pisut snoob, kui poola keele veidi unustas. Ta kuritarvitas vana poola sõnu "mis", "seepärast", "asalea" ja võttis kasutusele termini "poolasümmeetriline suhe". Mulle meeldib seda kasutada, see on tõesti täpne. Mulle meeldib. Aga ma ei nõua seda õpilastelt. Seda nimetatakse tavaliselt "madalaks antisümmeetriaks". Kümme ilusat.
Ammu, sest seitsmekümnendatel (eelmisel sajandil) toimus suur rõõmustav matemaatikaõpetuse reform. See langes kokku Eduard Giereki lühikese valitsemisperioodi algusega - meie riigi teatud avanemisega maailmale. "Lastele saab õpetada ka kõrgemat matemaatikat," hüüavad Suured Õpetajad. Ülikooli loengust "Matemaatika alused" koostati lastele kokkuvõte. See oli trend mitte ainult Poolas, vaid kogu Euroopas. Võrrandi lahendamisest ei piisanud, iga detail tuli lahti seletada. Et mitte olla alusetu, saab iga lugeja võrrandisüsteemi lahendada:
kuid õpilased pidid iga sammu põhjendama, viitama asjakohastele väidetele jne. See oli klassikaline vormiliigsus sisust. Mul on praegu lihtne kritiseerida. Ka mina olin kunagi selle lähenemise pooldaja. See on põnev... noortele, kes on matemaatikast kirglikud. Seda muidugi olin (ja tähelepanu huvides ka mina).
Kuid piisab lüürilisest kõrvalepõikest, asume asja kallale: loeng, mis oli "teoreetiliselt" mõeldud polütehnikumi teise kursuse õpilastele ja oleks kuiv kui kookoshelbed, kui ta poleks olnud. Ma natuke liialdan...
Tere hommikust teile. Tänane teema on osaline puhastamine. Ei, see ei ole vihje hooletule puhastamisele. Parim võrdlus oleks kaaluda, kumb on parem: tomatisupp või koorekook. Vastus on selge: olenevalt millest. Magustoiduks - küpsised ja toitva roa jaoks: supp.
Matemaatikas tegeleme arvudega. Need on järjestatud: need on suuremad ja väiksemad, kuid kahest erinevast numbrist on üks alati väiksem, mis tähendab, et teine on suurem. Need on järjestatud nagu tähed tähestikus. Klassipäevikus võib järjestus olla järgmine: Adamtšik, Baginskaja, Khoinitski, Derkovski, Elget, Filipov, Gžetšnik, Kholnitski (nad on minu klassi sõbrad ja klassikaaslased!). Meil pole ka kahtlust, et Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. "Kahekordse ebavõrdsuse" sümbolil on tähendus "enne".
Minu reisiklubis püüame teha nimekirjad tähestikulises järjekorras, aga nime järgi näiteks Alina Wronska "Warbara Kaczarska", Cesar Bouschitz jne. Ametlikes arvestustes oleks järjekord vastupidine. Matemaatikud nimetavad tähestikulist järjestust leksikograafiliseks (leksikon sarnaneb enam-vähem sõnaraamatuga). Seevastu selline järjekord, kus kahest osast (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) koosnevas nimes vaatame esmalt teist osa, on matemaatikute jaoks antileksikograafiline tellimus. Pikad pealkirjad, kuid väga lihtne sisu.
1. Lineaarne järjekord: jaamad ja peatused Habovka-Zakopane raudteel Podhalest, ehitatud 1899. aastal (lühendite dekodeerimise jätan lugeja hooleks).
Kõiki selliseid tellimusi nimetatakse reatellimusteks. Tellime kordamööda: esimene, teine, kolmas. Kõik on korras, esimesest punktist viimaseni. See ei ole alati mõistlik. Lõppude lõpuks paigutame me raamatukogus raamatuid mitte nii, vaid sektsioonide kaupa. Ainult osakonna sees järjestame lineaarselt (tavaliselt tähestikuliselt).
2. Lineaarne järjekord: auto mootori käivitamisel teostame toiminguid järjepidevas järjekorras.
Suuremate projektide puhul, eriti meeskonnatöös, ei ole meil enam lineaarset järjekorda. Vaatame edasi joon. 3. Tahame ehitada väikese hotelli. Meil on juba raha (lahter 0). Vormistame load, kogume materjale, alustame ehitusega ja samal ajal viime läbi reklaamikampaania, otsime töötajaid jne jne. Kui jõuame numbrini 10, saavad esimesed külalised end sisse registreerida (näide härra Dombrowski ja nende Krakowi äärelinna väikese hotelli lugudest). Meil on mittelineaarne järjestus – mõned asjad võivad juhtuda paralleelselt.
Majandusteaduses saate teada kriitilise tee kontseptsioonist. See on tegevuste kogum, mida tuleb sooritada järjestikku (ja seda nimetatakse matemaatikas ahelaks, täpsemalt hetkega) ja mis võtavad kõige rohkem aega. Ehitusaja lühendamine on kriitilise tee ümberkorraldamine. Aga sellest lähemalt teistes loengutes (tuletan meelde, et loen “ülikooli loengut”). Keskendume matemaatikale.
Diagramme nagu joonis 3 nimetatakse Hasse diagrammideks (Helmut Hasse, saksa matemaatik, 1898–1979). Iga kompleksne pingutus tuleb selliselt planeerida. Näeme toimingute jadasid: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Matemaatikud nimetavad neid stringideks. Kogu idee koosneb neljast ahelast. Seevastu aktiivsusrühmad 1-2-3-4, 5-6-7 ja 8-9 on antiahelad. Siin on nende nimi. Fakt on see, et konkreetses rühmas ei sõltu ükski tegevus eelmisest.
4. See on ka Hasse diagramm.
lähme 4 joonis. Mis on muljetavaldav? Aga see võib olla mõne linna metrookaart! Maa-alused raudteed on alati rühmitatud liinideks – need ei liigu ühelt teisele. Jooned on eraldi read. Linnas joon. 4 on ahju rida (pidage meeles ahju see on kirjutatud "boldem" - poola keeles nimetatakse seda poolpaks).
Sellel diagrammil (joonis 4) on lühike kollane ABF, kuuejaamaline ACFPS, roheline ADGL, sinine DGMRT ja pikim punane. Matemaatik ütleb: sellel Hasse diagrammil on ahju ketid. See on punasel joonel seitse jaam: AEINRUW. Aga antiketid? Seal nad on seitse. Lugeja on juba märganud, et ma tõmbasin selle sõna topelt alla seitse.
Ootus see on selline jaamade kogum, et ilma ümberistumiseta on võimatu ühest neist teise saada. Kui me natuke "mõistame", näeme järgmisi antiahelaid: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, SR. Palun kontrollige näiteks, et ühestki BCLTV jaamast teise BCTLV juurde ei ole võimalik sõita ilma muudatusteta, täpsemalt: ilma, et peaksite naasma allpool näidatud jaama. Kui palju antiahelaid on? seitse. Mis suurus on suurim? Küpseta (jälle paksus kirjas).
Võite ette kujutada, õpilased, et nende arvude kokkulangemine pole juhuslik. See. Selle avastas ja tõestas (st alati nii) 1950. aastal Robert Palmer Dilworth (1914–1993, Ameerika matemaatik). Kogu komplekti katmiseks vajalik ridade arv on võrdne suurima antiahela suurusega ja vastupidi: antiahelate arv võrdub pikima antiahela pikkusega. See on alati nii osaliselt tellitud komplektis, st. selline, mida saab visualiseerida. Hassego diagramm. See ei ole päris range ja õige määratlus. Seda nimetavad matemaatikud "töötavaks määratluseks". See erineb mõnevõrra "töömääratlusest". See on vihje, kuidas mõista osaliselt järjestatud komplekte. See on iga koolituse oluline osa: vaadake, kuidas see toimib.
Ingliskeelne lühend on – see sõna kõlab slaavi keeltes kaunilt, natuke nagu ohakas. Pange tähele, et ohakas on samuti hargnenud.
Väga tore, aga kellele seda vaja on? Teil, kallid õpilased, vajate seda eksami sooritamiseks ja see on ilmselt piisavalt hea põhjus selle õppimiseks. Ma kuulan, mis küsimused? Ma kuulan, härra akna alt. Oh, küsimus on selles, kas see on kunagi Issandale teie elus kasulik? Võib-olla mitte, aga sinust targemale kindlasti ... Võib-olla kriitilise tee analüüsi jaoks keerulises majandusprojektis?
Kirjutan seda teksti juuni keskel, Varssavi ülikoolis on käimas rektori valimised. Olen lugenud mitmeid internetikasutajate kommentaare. Üllatavalt palju on vihkamist (või "viha") "haritud inimeste" vastu. Keegi kirjutas otse, et ülikooliharidusega inimesed teavad vähem kui ülikooliharidusega. Arutelu ma muidugi ei lasku. Olen lihtsalt kurb, et Poola Rahvavabariigis naaseb väljakujunenud arvamus, et haamri ja peitliga saab kõike teha. Ma pöördun tagasi matemaatika juurde.
Dillworthi teoreem on mitmeid huvitavaid kasutusviise. Üks neist on tuntud kui abieluteoreem.joon. 6).
Seal on seltskond naisi (pigem tüdrukuid) ja veidi suurem seltskond mehi. Iga tüdruk arvab midagi sellist: "Ma võiksin abielluda selle ühega, teise pärast, aga mitte kunagi elus kolmandaga." Ja nii edasi, igaühel on oma eelistused. Joonistame diagrammi, mis viib igaühe juurde noole mehelt, keda ta altarikandidaadina tagasi ei lükka. K: Kas paare saab sobitada nii, et igaüks leiab endale abikaasa, kellega ta nõustub?
Philip Halli teoreem, ütleb, et seda saab teha - teatud tingimustel, mida ma siin ei käsitle (siis järgmises loengus, üliõpilased, palun). Pange tähele, et meeste rahulolu pole siin üldse mainitud. Nagu teate, valivad meid naised, mitte vastupidi, nagu meile tundub (tuletan teile meelde, et olen autor, mitte autor).
Tõsine matemaatika. Kuidas tuleneb Halli teoreem Dilworthist? See on väga lihtne. Vaatame uuesti joonist 6. Sealsed ketid on väga lühikesed: nende pikkus on 2 (suunas). Väikeste meeste komplekt on antikett (just sellepärast, et nooled on ainult suunas). Seega saab kogu kollektsiooni katta nii paljude antikettidega, kui on mehi. Nii et igal naisel on nool. Ja see tähendab, et ta võib tunduda mehena, kelle ta aktsepteerib!!!
Oota, keegi küsib, kas see on kõik? Kas see kõik on rakendus? Hormoonid saavad kuidagi läbi ja miks matemaatika? Esiteks pole see kogu rakendus, vaid ainult üks suurest seeriast. Vaatame ühte neist. Tähendagu (joon. 6) mitte parema soo esindajaid, vaid pigem proosalisi ostjaid ja need on kaubamärgid, näiteks autod, pesumasinad, kaalulangetustooted, reisibüroode pakkumised jne. Igal ostjal on kaubamärgid, mida ta aktsepteerib ja lükkab tagasi. Kas ja kuidas saab midagi ette võtta, et kõigile midagi müüa? Siin ei lõpe mitte ainult naljad, vaid ka selleteemalise artikli autori teadmised. Tean vaid seda, et analüüs põhineb üsna keerulisel matemaatikal.
Matemaatika õpetamine koolis on algoritmide õpetamine. See on õppimise oluline osa. Kuid aeglaselt liigume mitte niivõrd matemaatika kui matemaatika meetodi õppimise poole. Tänane loeng rääkis just sellest: me räägime abstraktsetest mentaalsetest konstruktsioonidest, mõtleme igapäevaelust. Me räägime kettidest ja antikettidest pöörd-, transitiivsete ja muude seostega komplektides, mida kasutame müüja-ostja mudelites. Arvuti teeb kõik arvutused meie eest ära. Ta ei hakka veel matemaatilisi mudeleid looma. Võidame ikka oma mõtlemisega. Igatahes, loodetavasti nii kaua kui võimalik!
