Uueks õppeaastaks

Enamik lugejaid oli kuskil puhkusel – olgu siis meie kaunil maal, naaberriikides või ehk isegi välismaal. Kasutame seda ära, kuni piirid on meile avatud... Mis oli meie lähi- ja kaugematel reisidel kõige sagedasem märk? See on nool, mis osutab kiirteelt mahasõidule, mägitee jätkule, muuseumi sissepääsule, randa sissepääsule jne ja nii edasi. Mis selles kõiges nii huvitavat on? Matemaatiliselt mitte nii väga. Kuid mõelgem: see märk on ilmne kõigile ... selle tsivilisatsiooni esindajatele, kus kunagi tulistati vibulaskmist. Tõsi, seda on võimatu tõestada. Me ei tea ühtegi teist tsivilisatsiooni. Tavaline viisnurk ja selle tähekujuline versioon, pentagramm, on aga matemaatiliselt huvitavamad.

Me ei vaja mingit haridust, et need kujundid intrigeerivaks ja huvitavaks pidada. Kui olete, Lugeja, joonud Pariisis Place des Starsi viietärnihotellis viietärni konjakit, siis võib-olla... olete sündinud õnneliku tähe all. Kui keegi palub meil tähte joonistada, joonistame kõhklemata viieharulise ja kui vestluskaaslane on üllatunud: “See on endise NSVLi sümbol!”, saame vastata: Tallid!”.

Pentagrammi ehk viieharulise tähe, tavalise viisnurga, on meisterdanud kogu inimkond. Vähemalt veerand riikidest, sealhulgas USA ja endine NSVL, on selle oma embleemidesse lisanud. Lapsena õppisime joonistama viieharulist tähte ilma pliiatsit lehelt tõstmata. Täiskasvanueas saab temast meie juhttäht, muutumatu, kauge, lootuse ja saatuse sümbol, oraakel. Vaatame asja kõrvalt.

Mida tähed meile räägivad?

Ajaloolased on ühel meelel, et kuni XNUMX. sajandini eKr jäi Euroopa rahvaste intellektuaalne pärand Babüloonia, Egiptuse ja Foiniikia kultuuride varju. Ja äkki toob kuues sajand kaasa elavnemise ja kultuuri ja teaduse nii kiire arengu, et mõned ajakirjanikud (näiteks Daniken) väidavad – raske öelda, kas nad ise sellesse usuvad –, et ilma sekkumiseta poleks see võimalik olnud. vangidest. kosmosest.

Kui rääkida Kreekast, siis on juhtumil ratsionaalne seletus: rahvaste rände tulemusena saavad Peloponnesose poolsaare elanikud rohkem teada naaberriikide kultuurist (näiteks foiniikia tähed tungivad Kreekasse ja täiustavad tähestikku ) ja nad hakkavad ise Vahemere basseini koloniseerima. Need on alati väga soodsad tingimused teaduse arenguks: iseseisvus koos kontaktidega maailmaga. Iseseisvuseta mõistame end Kesk-Ameerika banaanivabariikide saatuse ees, ilma kontaktideta Põhja-Korea.

Numbrid on olulised

XNUMX. sajand eKr oli inimkonna ajaloos eriline sajand. Üksteist teadmata või võib-olla mitte kuulmata õpetasid kolm suurt mõtlejat: Buddha, Konfutsius i Pythagoras. Esimesed kaks lõid religioonid ja filosoofiad, mis on elus tänaseni. Kas kolmanda roll on piiratud konkreetse kolmnurga ühe või teise omaduse avastamisega?

624. ja 546. sajandi vahetusel (umbes XNUMX – u XNUMX eKr) elas Miletoses tänapäeva Väike-Aasias Selline. Mõned allikad räägivad, et ta oli teadlane, teised, et ta oli jõukas kaupmees, ja kolmandad nimetavad teda ettevõtjaks (ilmselt ostis ta ühe aastaga kõik õlipressid ja laenas need siis liigkasu eest). Mõned näevad praeguse moe ja teaduse tegemise mudeli kohaselt teda omakorda patroonina: ilmselt kutsus ta targad kohale, toitis neid ja ravis neid ning ütles siis: "Noh, töötage meie auks. mina ja kogu teadus." Paljud tõsised allikad kalduvad aga väitma, et Thalest, lihast ja luust, polnud üldse olemas ning tema nimi oli vaid konkreetsete ideede kehastus. Nii oli, nii oli ja me ei saa ilmselt kunagi teada. Matemaatika ajaloolane E. D. Smith kirjutas, et kui poleks Thalest, poleks ka Pythagorast ega kedagi Pythagorase sarnast ning ilma Pythagoraseta poleks Platonit ega kedagi Platoni sarnast. Pigem. Jätame aga kõrvale, mis oleks juhtunud, kui.

Pythagoras (u 572 – u 497 eKr) õpetas Lõuna-Itaalias Crotones ja just seal sündis meistri järgi nime saanud intellektuaalne liikumine: pütagorism. See oli eetilis-religioosne liikumine ja ühendus, mis põhines, nagu me seda tänapäeval nimetaksime, saladustel ja salaõpetustel, pidades teaduse uurimist üheks hinge puhastamise vahendiks. Pythagoreanism läbis ühe-kahe põlvkonna elu jooksul tavapärased ideede arenguetapid: esialgne kasv ja laienemine, kriis ja allakäik. Tõeliselt suurepärased ideed ei lõpe seal oma elu ega sure kunagi igaveseks. Pythagorase (ta lõi termini, mille ta nimetas end: filosoof ehk tarkuse sõber) ja tema jüngrite intellektuaalne õpetus domineeris kogu antiikajast, seejärel pöördus tagasi renessansi (panteismi nime all) ja me oleme tegelikult tema mõju all. täna. Pythagoreanismi põhimõtted on kultuuris (vähemalt Euroopas) nii juurdunud, et me vaevalt mõistame, et võiksime teisiti mõelda. Oleme üllatunud mitte vähem kui Molière'i härra Jourdain, kes oli üllatunud, kui sai teada, et ta oli kogu oma elu proosat rääkinud.

Pythagoreanismi põhiidee oli usk, et maailm on korraldatud range plaani ja harmoonia järgi ning inimese kutsumus on seda harmooniat tunda. Ja just maailma harmoonia üle mõtisklemine moodustab Pythagoreanismi õpetuse. Pythagoraslased olid kindlasti nii müstikud kui matemaatikud, kuigi alles tänapäeval on neid lihtne nii juhuslikult liigitada. Nad sillutasid teed. Nad alustasid maailma harmoonia õpinguid, õppides esmalt muusikat, astronoomiat, aritmeetikat jne.

Kuigi inimkond alistus maagiale "igaveseks", tõstis ainult Pythagorase koolkond selle üldiselt kohaldatavaks seaduseks. "Numbrid teevad rahu" – see loosung iseloomustas kooli kõige paremini. Numbritel oli hing. Igaüks tähendas midagi, igaüks sümboliseeris midagi, igaüks peegeldas osakest sellest Universumi harmooniast, st. ruum. Sõna ise tähendab "korra, korra" (lugejad teavad, et kosmeetika silub nägu ja suurendab ilu).

Erinevad allikad annavad igale numbrile erineva tähenduse, mille pythagoraslased andsid. Nii või teisiti võib sama number sümboliseerida mitut mõistet. Kõige olulisemad olid kuus (täiuslik arv) i kümme - järjestikuste arvude 1 + 2 + 3 + 4 summa, mis koosneb teistest arvudest, mille sümboolika on säilinud tänapäevani.

Niisiis, Pythagoras õpetas, et numbrid on kõige algus ja allikas, et - kui te ette kujutate - nad "seguvad" üksteisega ja me näeme ainult nende tegevuse tulemusi. Pythagorase loodud või õigemini välja töötatud arvude müstika ei oma tänapäeval “head trükki” ja isegi tõsised autorid näevad siin segu “paatosest ja absurdist” või “teadusest, müstikast ja puhtast liialdusest”. Raske on mõista, kuidas kuulus ajaloolane Aleksandr Kravtšuk võis kirjutada, et Pythagoras ja tema õpilased täitsid filosoofia nägemuste, müütide, ebauskudega – nagu ei saaks ta millestki aru. Sest see näeb selline välja ainult meie XNUMX. sajandi vaatenurgast. Pythagoraslased ei pingutanud midagi, nad lõid oma teooriad täiusliku südametunnistusega. Võib-olla mõne sajandi pärast kirjutab keegi, et ka kogu relatiivsusteooria oli absurdne, pretensioonikas ja pealesunnitud. Ja numbriline sümboolika, mis eraldas meid Pythagorasest veerand miljonit aastat, tungis sügavalt kultuuri ja sai selle osaks, nagu kreeka ja saksa müüdid, keskaegsed rüütlieeposed, vene rahvajutud Kostist või Juliusz Slovaki nägemus. slaavi paavst.

Salapärane irratsionaalsus

Geomeetrias olid Pythagorased hämmastunud figurami-podobnymi. Ja just Thalese teoreemi, sarnasuse reeglite põhiseaduse analüüsimisel juhtus katastroof. Leiti võrreldamatud lõigud ja seega ka irratsionaalsed arvud. Episoodid, mida ei saa ühegi üldmõõduga mõõta. Numbrid, mis ei ole proportsioonid. Ja see leiti ühel kõige lihtsamal kujul: ruut.

Tänapäeval läheme kooliteaduses sellest tõsiasjast mööda, peaaegu märkamata. Ruudu diagonaal on √2? Suurepärane, kui palju see võib olla? Vajutame kalkulaatoril kahte nuppu: 1,4142 ... Noh, me juba teame, mis on kahe ruutjuur. Milline? Kas see on ebaratsionaalne? Võib-olla sellepärast, et me kasutame nii kummalist märki, aga lõppude lõpuks tegelikult see on 1,4142. Kalkulaator ju ei valeta.

Kui lugeja arvab, et ma liialdan, siis ... väga hästi. Ilmselt pole Poola koolid nii halvad kui näiteks Briti koolides, kus kõik on mõõtmatus kuskil muinasjuttude vahepeal.

Poola keeles pole sõna "irratsionaalne" nii hirmutav kui selle vaste teistes Euroopa keeltes. Ratsionaalarvud on olemas ratsionaalsed, ratsionaalarvud, ratsionaalsed, s.t.

Mõelge põhjendusele, et √2 see on irratsionaalne arv, see tähendab, et see ei ole p/q murdosa, kus p ja q on täisarvud. Tänapäeva mõistes näeb see välja selline ... Oletame, et √2 = p / q ja et seda murdu ei saa enam lühendada. Täpsemalt, nii p kui ka q on paaritud. Teeme ruudu: 2q²=p². Arv p ei saa olla paaritu, sest sellest ajast p² oleks ka ja võrdsuse vasak pool on 2 kordne. Seega p on paaris, st p = 2r, seega p²= 4r². Vähendame võrrandit 2q²= 4r². saame d²= 2r² ja näeme, et q peab olema ka paaris, mis me eeldasime, et see pole nii. Vastu võetud vastuolu tõestus lõpeb - ​​selle valemi leiate aeg-ajalt igast matemaatikaraamatust. See kaudne tõestus on sofistide lemmiktrikk.

Rõhutan siiski, et see on tänapäevane arutluskäik – pütagorlastel polnud nii arenenud algebralist aparaati. Nad otsisid ruudu külje ja selle diagonaali ühist mõõtu, mis viis nad mõttele, et sellist ühist mõõtu ei saa olla. Selle olemasolu oletus viib vastuoluni. Kõva maa libises jalge alt ära. Kõike peaks saama kirjeldada numbritega ja ruudu diagonaalil, mille igaüks võib pulgaga liivale tõmmata, pole pikkust (st on mõõdetav, sest muid numbreid pole). "Meie usk oli asjatu," ütleksid pütagoorlased. Mida teha?

Ennast püüti päästa sektantlike meetoditega. Igaüks, kes julgeb avastada irratsionaalsete arvude olemasolu, mõistetakse surma ja ilmselt täidab peremees ise – vastupidiselt tasasuse käsule – esimese lause. Siis muutub kõik kardinaks. Ühe versiooni järgi pütagoorlased tapeti (mõnevõrra päästeti ja tänu neile ei viidud kogu ideed hauda), teise järgi ajavad jüngrid ise, nii sõnakuulelikud, jumaldatud meistri välja ja ta lõpetab kuskil oma elu paguluses. . Sekt lakkab olemast.

Me kõik teame Winston Churchilli ütlust: "Iialgi inimkonfliktide ajaloos pole nii palju inimesi nii vähestele nii palju võlgu." See rääkis pilootidest, kes kaitsesid Inglismaad Saksa lennukite eest 1940. aastal. Kui asendada "inimkonfliktid" "inimmõttega", kehtib ütlus käputäie Pythagoreanide kohta, kes põgenesid (nii vähe) XNUMX-i lõpus pogromist. XNUMX. sajand eKr.

Nii et "mõte möödus puutumatult". Mis järgmiseks? Kuldaeg on tulemas. Kreeklased võidavad pärslasi (Marathon – 490 eKr, Payment – ​​479). Demokraatia muutub tugevamaks. Tekivad uued filosoofilise mõtte keskused ja uued koolkonnad. Pythagoreanismi järgijad seisavad silmitsi irratsionaalsete arvude probleemiga. Mõned ütlevad: „Me ei saa sellest mõistatusest aru; saame seda vaid mõtiskleda ja Unchartedi imetleda. Viimased on pragmaatilisemad ega austa Müsteeriumit: “Kui nende kujudega on midagi valesti, jätkem nad rahule, umbes 2500 aasta pärast saab kõik teada. Võib-olla numbrid ei valitse maailma? Alustame geomeetriaga. Enam pole olulised numbrid, vaid nende proportsioonid ja suhted.

Esimese suuna pooldajad on matemaatika ajaloolastele teada kui akustikaNad elasid veel paar sajandit ja kõik. Viimased kutsusid end matemaatika (kreeka keelest mathein = teadma, õppima). Me ei pea kellelegi selgitama, et selline lähenemine on võitnud: see on elanud kakskümmend viis sajandit ja õnnestub.

Matemaatikute võit ausmaatika üle väljendus eelkõige Pythagoreanide uue sümboli ilmumises: nüüdsest oli see pentagramm (pentás = viis, gramma = täht, kiri) - tavaline viisnurk, mille kuju oli täht. Selle oksad ristuvad äärmiselt proportsionaalselt: tervik viitab alati suuremale osale ja suurem osa väiksemale osale. Ta helistas jumalik proportsioon, siis sekulariseeriti selleks kuld. Vanad kreeklased (ja nende taga kogu eurotsentriline maailm) uskusid, et see proportsioon on inimsilmale kõige meeldivam, ja kohtasid seda peaaegu kõikjal.

(Cyprian Camille Norwid, "Prometidion")

Lõpetan veel ühe lõiguga, seekord luuletusest "Faust" (tlk Vladislav August Kostelsky). Noh, pentagramm on ka kujutis viiest meelest ja kuulsast "nõiajalast". Goethe luuletuses soovis doktor Faust end kuradi eest kaitsta, joonistades selle sümboli oma maja lävele. Ta tegi seda juhuslikult ja juhtus nii:

Faust

M epistopheles

Faust

Ja see kõik käib uue kooliaasta alguse tavalise viisnurga kohta.