Reis matemaatika ebareaalsesse maailma
Kirjutasin selle artikli ühes keskkonnas pärast loengut ja praktikat arvutiteaduse kolledžis. Kaitsen end kriitika eest selle kooli õpilaste, nende teadmiste, suhtumise loodusteadustesse ja mis kõige tähtsam – õpetamisoskuste suhtes. See... keegi ei õpeta neid.
Miks ma nii kaitsev olen? Lihtsal põhjusel – olen vanuses, mil ilmselt meid ümbritsevast maailmast veel aru ei saada. Võib-olla õpetan ma neid hobust rakmesse panema ja lahti võtma, mitte autot juhtima? Äkki ma õpetan neid sulepliiatsiga kirjutama? Kuigi mul on inimesest parem arvamus, pean end “jälgijaks”, aga…
Kuni viimase ajani, keskkoolis, räägiti kompleksarvudest. Ja just sel kolmapäeval tulin koju, lõpetasin ära – peaaegu ükski õpilastest pole veel õppinud, mis see on ja kuidas neid numbreid kasutada. Mõned vaatavad kogu matemaatikat nagu hani värvitud ust. Kuid ma olin ka siiralt üllatunud, kui nad mulle rääkisid, kuidas õppida. Lihtsamalt öeldes on iga loengutund kaks tundi kodutööd: õpiku lugemine, etteantud teemal ülesannete lahendamise õppimine jne. Olles sel viisil valmistunud, jõuame harjutusteni, kus parandame kõike... Mõnusalt arvasid tudengid ilmselt, et loengus istumine – enamasti aknast välja vaadates – garanteerib juba teadmiste pähe sisenemise.
Lõpeta! Aitab sellest. Kirjeldan oma vastust küsimusele, mille sain tunni ajal koos stipendiaatidega riiklikust lastefondist, asutusest, mis toetab andekaid lapsi üle kogu riigi. Küsimus (õigemini soovitus) oli:
— Kas saaksite meile midagi ebareaalsete numbrite kohta rääkida?
"Muidugi," vastasin.
Numbrite tegelikkus
"Sõber on teine mina, sõprus on arvude 220 ja 284 suhe," ütles Pythagoras. Asi on selles, et arvu 220 jagajate summa on 284 ja arvu 284 jagajate summa on 220:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Veel üks huvitav kokkusattumus arvude 220 ja 284 vahel on järgmine: seitseteist suurimat algarvu on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, ja 59.
Nende summa on 2x220 ja ruutude summa on 59x284.
Esiteks. Pole olemas mõistet "reaalarv". Tundub, et pärast elevante käsitleva artikli lugemist küsite: "Nüüd küsime mitte-elevante." On terveid ja mittetervikuid, ratsionaalseid ja irratsionaalseid, kuid ei ole ebareaalseid. Täpsemalt: numbreid, mis pole reaalsed, ei nimetata kehtetuks. Matemaatikas on mitut tüüpi "numbreid" ja need erinevad üksteisest, näiteks - kui võtta zooloogilist võrdlust - elevant ja vihmauss.
Teiseks teeme toiminguid, mille kohta võite juba teada, et need on keelatud: negatiivsete arvude ruutjuurte võtmine. Noh, matemaatika ületab sellised tõkked. Kas sellel on siiski mõtet? Matemaatikas, nagu igas teises teaduses, sõltub see, kas teooria jõuab igaveseks teadmiste varamusse ... selle rakendamisest. Kui see on kasutu, siis satub see prügikasti, siis mingisse teadmiste ajaloo prügisse. Ilma numbriteta, millest ma selle artikli lõpus räägin, on matemaatika arendamine võimatu. Kuid alustame väikestest asjadest. Mis on reaalsed numbrid, teate. Need täidavad arvurea tihedalt ja ilma tühikuteta. Samuti teate, mis on naturaalarvud: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - kõik need ei mahu mälu isegi suurim. Neil on ka ilus nimi: loomulik. Neil on palju huvitavaid omadusi. Kuidas teile meeldib:
1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218
12 + 152 + 422 + 982 + 1232 + 1792 + 2062 + 2202 = 32 + 112 + 462 + 922 + 1292 + 1752 + 2102 + 2182
13 + 153 + 423 + 983 + 1233 + 1793 + 2063 + 2203 = 33 + 113 + 463 + 923 + 1293 + 1753 + 2103 + 2183
14 + 154 + 424 + 984 + 1234 + 1794 + 2064 + 2204 = 34 + 114 + 464 + 924 + 1294 + 1754 + 2104 + 2184
15 + 155 + 425 + 985 + 1235 + 1795 + 2065 + 2205 = 35 + 115 + 465 + 925 + 1295 + 1755 + 2105 + 2185
16 + 156 + 426 + 983 + 1236 + 1796 + 2066 + 2206 = 36 + 116 + 466 + 926 + 1296 + 1756 + 2106 + 2186
17 + 157 + 427 + 983 + 1237 + 1797 + 2067 + 2207 = 37 + 117 + 467 + 927 + 1297 + 1757 + 2107 + 2187
"On loomulik, et tunnete huvi naturaalarvude vastu," ütles Karl Lindenholm ja Leopold Kronecker (1823–1891) sõnastas selle lühidalt: "Jumal lõi naturaalarvud – kõik muu on inimese töö!" Murdudel (matemaatikute poolt nimetatud ratsionaalarvudeks) on ka hämmastavad omadused:
ja võrdsuses:
võite, alustades vasakult, hõõruda plusse ja asendada need korrutusmärkidega - ja võrdsus jääb tõeseks:
Ja nii edasi.
Nagu teate, öeldakse murdude a/b kohta, kus a ja b on täisarvud ning b ≠ 0 ratsionaalarv. Kuid ainult poola keeles kutsuvad nad end nii. Nad räägivad inglise, prantsuse, saksa ja vene keelt. ratsionaalarv. Inglise keeles: ratsionaalsed numbrid. Irratsionaalsed numbrid see on irratsionaalne, irratsionaalne. Poola keeles räägime ka irratsionaalsetest teooriatest, ideedest ja tegudest – see on hullumeelsus, kujuteldav, seletamatu. Nad ütlevad, et naised kardavad hiiri – kas see pole nii irratsionaalne?
Iidsetel aegadel oli numbritel hing. Igaüks neist tähendas midagi, igaüks sümboliseeris midagi, igaüks peegeldas osakest universumi harmooniast, see tähendab kreeka keeles Kosmosest. Juba sõna "kosmos" tähendab täpselt "korda, korda". Tähtsamad olid kuus (täiuslik arv) ja kümme, teistest arvudest moodustatud järjestikuste arvude 1+2+3+4 summa, mille sümboolika on säilinud tänapäevani. Nii õpetas Pythagoras, et numbrid on kõige algus ja allikas ning ainult avastus irratsionaalsed arvud pööras Pythagorase liikumise geomeetria poole. Me teame seda põhjendust koolist
√2 on irratsionaalne arv
Oletame, et on olemas: ja et seda murdosa ei saa vähendada. Täpsemalt, nii p kui ka q on paaritud. Teeme ruudu: 2q2=p2. Arv p ei saa olla paaritu, sest sellest ajast p2 oleks ka ja võrdsuse vasak pool on 2 kordne. Seega p on paaris, st p = 2r, seega p2= 4r2. Vähendame võrrandit 2q2= 4r2 2. Saame q2= 2r2 ja näeme, et q peab samuti olema paaris, mis me eeldasime, et see pole nii. Sellest tulenev vastuolu lõpetab tõestuse - seda valemit võib sageli leida igast matemaatikaraamatust. See kaudne tõestus on sofistide lemmiktrikk.
Pythagoraslased ei suutnud seda mõõtmatust mõista. Kõike peab saama kirjeldada numbritega ja ruudu diagonaalil, mille igaüks võib pulgaga üle liiva tõmmata, pole pikkust, see tähendab mõõdetavat. "Meie usk oli asjatu," näivad Pythagorased ütlevat. Kuidas nii? See on kuidagi... irratsionaalne. Liit püüdis end päästa sektantlike meetoditega. Igaüks, kes julgeb oma olemasolu paljastada irratsionaalsed arvud, pidi karistama surmaga ja ilmselt pani esimese lause täide peremees ise.
Kuid "mõte läks puutumatult mööda". Kuldaeg on kätte jõudnud. Kreeklased alistasid pärslased (Marathon 490, Block 479). Tugevnes demokraatia, tekkisid uued filosoofilise mõtte keskused ja uued koolkonnad. Pythagoraslased olid endiselt hädas irratsionaalsete arvudega. Mõned jutlustasid: me ei mõista seda saladust; saame ainult Unchartedi mõtiskleda ja selle üle imestada. Viimased olid pragmaatilisemad ega austanud Müsteeriumi. Sel ajal ilmnesid kaks mõttelist konstruktsiooni, mis võimaldasid mõista irratsionaalseid arve. Asjaolu, et me mõistame neid tänapäeval piisavalt hästi, kuulub Eudoxusele (XNUMX. sajand eKr) ja alles XNUMX. sajandi lõpus andis saksa matemaatik Richard Dedekind Eudoxuse teooriale õige arenduse vastavalt rangetele nõuetele. matemaatiline loogika.
Figuuride mass või piinamine
Kas sa saaksid elada ilma numbriteta? Isegi kui mis elu oleks... Me peaksime minema poodi ostma kingi pulgaga, mille jala pikkust eelnevalt mõõtsime. "Ma tahaks õunu, ah, siin see on!" – näitaksime turul müüjaid. "Kui kaugel on Modlinist Nowy Dwur Mazowiecki"? "Päris lähedal!"
Mõõtmiseks kasutatakse numbreid. Nende abiga väljendame ka palju muid mõisteid. Näiteks näitab kaardi mõõtkava, kui palju on riigi pindala vähenenud. Kaks ühele skaala ehk lihtsalt 2 väljendab tõsiasja, et midagi on kahekordistunud. Ütleme matemaatiliselt: igale homogeensusele vastab arv – selle skaala.
Ülesanne. Tegime kserograafilise koopia, suurendades pilti mitu korda. Seejärel suurendati suurendatud fragmenti uuesti b korda. Mis on üldine suurendusskaala? Vastus: a × b korrutis b-ga. Neid skaalasid tuleb korrutada. Arv "miinus üks" -1 vastab ühele täpsusele, mis on tsentreeritud, st pööratud 180 kraadi. Mis number vastab 90-kraadisele pöördele? Sellist numbrit pole. On, on… või õigemini, see on varsti. Kas olete moraalseks piinamiseks valmis? Võtke julgus ja võtke ruutjuur miinus ühest. ma kuulan? Mida sa ei saa? Ju ma ju ütlesin, et ole julge. Tõmba välja! Hei, noh, tõmba, tõmba... Ma aitan... Siin: -1 Nüüd, kui see on käes, proovime seda kasutada... Muidugi, nüüd saame eraldada kõigi negatiivsete arvude juured, näide.:
√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1
"Sõltumata vaimsest ahastusest, mida see kaasa toob." Seda kirjutas Girolamo Cardano aastal 1539, püüdes ületada vaimseid raskusi, mis on seotud - nagu seda peagi hakati nimetama - kujuteldavad kogused. Ta pidas neid...
...Ülesanne. Jaga 10 kaheks osaks, mille korrutis on 40. Mäletan, et eelmisest episoodist kirjutas ta umbes nii: Kindlasti võimatu. Kuid teeme nii: jagage 10 kaheks võrdseks osaks, millest igaüks on 5. Korrutage need - selgus 25. Saadud 25-st lahutage nüüd, kui soovite, 40 ja saate -15. Nüüd vaadake: √-15 liitmine ja 5-st lahutamine annab teile 40 korrutise. Need on arvud 5-√-15 ja 5 + √-15. Cardano kontrollis tulemust järgmiselt:
„Hoolimata sellest, millist südamevalu see kaasa toob, korrutage 5 + √-15 5-√-15-ga. Saame 25 - (-15), mis võrdub 25 + 15. Seega on korrutis 40 .... See on tõesti raske."
Noh, kui palju on: (1 + √-1) (1-√-1)? Korrutame. Pidage meeles, et √-1 × √-1 = -1. Suurepärane. Nüüd keerulisem ülesanne: alates a + b√-1 kuni ab√-1. Mis juhtus? Kindlasti nii: (a + b√-1) (ab√-1) = a2+b2
Mis selles huvitavat on? Näiteks asjaolu, et saame faktoriseerida väljendeid, mida me "varem ei teadnud". Lühendatud korrutusvalem2-b2 Kas mäletate valemit2+b2 ei olnud, sest see ei saanud olla. Reaalarvude valdkonnas polünoom2+b2 see on vältimatu. Tähistame "meie" ruutjuurt "miinus üks" tähega i.2= -1. See on "ebareaalne" algarv. Ja see kirjeldab lennuki 90-kraadist pööret. Miks? Pealegi,2= -1 ning ühe 90-kraadise ja teise 180-kraadise pöörde kombineerimine annab 45-kraadise pöörde. Millist tüüpi pöörlemist kirjeldatakse? Ilmselgelt XNUMX kraadine pööre. Mida tähendab -i? See on natuke keerulisem:
(-I)2 = -i × (-i) = +i2 = -1
Nii et -i kirjeldab ka 90-kraadist pöörlemist, just vastupidises suunas i pöörlemisele. Kumb on vasak ja kumb parem? Peate kohtumise kokku leppima. Eeldame, et arv i määrab pöörde suunas, mida matemaatikud peavad positiivseks: vastupäeva. Arv -i kirjeldab pööramist osutite liikumise suunas.
Kuid kas sellised numbrid nagu i ja -i on olemas? Kas on! Me lihtsalt äratasime nad ellu. ma kuulan? Et need eksisteerivad ainult meie peas? No mida oodata? Ka kõik muud numbrid eksisteerivad ainult meie meeles. Peame vaatama, kas meie vastsündinute arv jääb ellu. Täpsemalt, kas disain on loogiline ja kas neist on midagi kasu. Palun võtke sõna, et kõik on korras ja need uued numbrid on tõesti abiks. Arve nagu 3+i, 5-7i, üldisemalt: a+bi nimetatakse kompleksarvudeks. Näitasin teile, kuidas saate neid lennukit keerutades. Neid saab sisestada erineval viisil: punktidena tasapinnal, mõne polünoomina, mingisuguse arvulise massiivina ... ja iga kord on need samad: võrrand x2 +1=0 elementi pole... hocus pocus on juba olemas!!!! Rõõmustame ja rõõmustame!!!
Ekskursiooni lõpp
Sellega lõpeb meie esimene ringkäik võltsnumbrite riigis. Teistest ebamaistest arvudest nimetan ka neid, millel on lõpmatu arv numbreid ees, mitte taga (neid nimetatakse 10-adic, meie jaoks on olulisemad p-adic, kus p on algarv), sest näide X = … … … 96109004106619977392256259918212890625
Palun loendame X2. Sest? Mis siis, kui arvutame arvu ruudu, millele järgneb lõpmatu arv numbreid? Noh, teeme sama. Me teame, et x2 = X.
Leiame veel ühe sellise arvu, mille ees on lõpmatu arv numbreid, mis rahuldab võrrandit. Vihje: kuuega lõppeva arvu ruut lõpeb ka kuuega. Arvu ruut, mis lõpeb numbriga 76, lõpeb samuti numbriga 76. Arvu ruut, mis lõpeb numbriga 376, lõpeb samuti numbriga 376. Arvu ruut, mis lõpeb numbriga 9376, lõpeb samuti numbriga 9376. Arvu ruut, mis lõpeb numbriga XNUMX XNUMX kohta… On ka numbreid, mis on nii väikesed, et olles positiivsed, jäävad nad väiksemaks kui ükski teine positiivne arv. Need on nii tillukesed, et mõnikord piisab nulli saamiseks nende ruutudeks panemisest. On numbreid, mis ei vasta tingimusele a × b = b × a. Samuti on lõpmatu arv numbreid. Mitu naturaalarvu on? Lõpmatult palju? Jah, aga kui palju? Kuidas saab seda arvuna väljendada? Vastus: lõpmatutest arvudest väikseim; see on tähistatud ilusa tähega: A ja täiendatud nullindeksiga A0 , aleph-null.
On ka numbreid, mille olemasolust me ei tea... või mida te võite uskuda või mitte uskuda, kuidas soovite. Ja muust sarnasest rääkides: loodan, et teile meeldivad endiselt Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.
