viis korda silma
2020. aasta lõpus toimusid ülikoolides ja koolides mitmed üritused, mis lükati edasi ... märtsist. Üks neist oli pi päeva "tähistus". Sedapuhku pidasin 8. detsembril Sileesia ülikoolis kaugloengu ja see artikkel on loengu kokkuvõte. Kogu pidu algas kell 9.42 ja minu loeng on kavas 10.28. Kust selline täpsus tuleb? See on lihtne: 3 korda pi on umbes 9,42 ja π teise astmeni on umbes 2 ja tund 9,88 kuni 9. astmeni on 88 kuni 10 ...
Selle numbri austamise komme, väljendades ringi ümbermõõdu ja selle läbimõõdu suhet ja mõnikord nimetatakse seda Archimedese konstandiks (nagu ka saksakeelsetes kultuurides), on pärit USA-st (Vaata ka: ). 3.14 märts “Ameerika stiil” kell 22:22, siit ka idee. Poola vaste võiks olla 7. juuli, sest murdosa 14/XNUMX on π-le hästi ligikaudne, mida… Archimedes juba teadis. Noh, märts XNUMX on parim aeg kõrvalüritusteks.
Need kolm ja neliteist sajandikku on üks väheseid matemaatilisi sõnumeid, mis on jäänud meile koolist kogu eluks. Kõik teavad, mida see tähendab"viis korda silma". See on keelde nii juurdunud, et seda on raske teistmoodi ja sama armuga väljendada. Kui autoremonditöökojas küsisin, kui palju remont maksma võib minna, mõtles mehaanik selle peale ja ütles: "viis korda umbes kaheksasada zlotti." Otsustasin olukorda ära kasutada. "Kas sa mõtled umbkaudset lähenemist?". Mehaanik arvas, et ma kuulsin valesti, nii et ta kordas: "Ma ei tea täpselt, kui palju, aga viis korda silma järgi oleks 800."
.
Millest see räägib? Teise maailmasõja eelne õigekiri kasutas koos "ei" ja jätsin selle sinnapaika. Me ei tegele siin üleliia pompoosse luulega, kuigi mulle meeldib mõte, et "kuldne laev pumpab õnne". Küsige õpilastelt: Mida see mõte tähendab? Kuid selle teksti väärtus peitub mujal. Tähtede arv järgmistes sõnades on pi laiendi numbrid. Vaatame:
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359
1596. aastal saksa päritolu Hollandi teadlane Ludolph van Seulen arvutas pi väärtuse 35 kümnendkoha täpsusega. Siis graveeriti need kujud tema hauale. Ta pühendas luuletuse numbrile pi ja meie Nobeli preemia laureaadile, Vislava Šimborska. Szymborska oli lummatud selle numbri mitteperioodilisusest ja asjaolust, et tõenäosusega 1 esineb seal iga numbrijada, näiteks meie telefoninumber. Kui esimene omadus on omane igale irratsionaalsele arvule (mida peaksime koolist mäletama), siis teine on huvitav matemaatiline fakt, mida on raske tõestada. Võite isegi leida rakendusi, mis pakuvad: andke mulle oma telefoninumber ja ma ütlen teile, kus see pi-s on.
Kus on ümarus, seal on uni. Kui meil on ümmargune järv, siis selle ümber käimine on 1,57 korda pikem kui ujumine. See muidugi ei tähenda, et ujume poolteist kuni kaks korda aeglasemalt, kui möödume. Jagasin 100 m maailmarekordit 100 m maailmarekordiga. Huvitaval kombel on meeste ja naiste tulemus peaaegu sama ja on 4,9. Ujume 5 korda aeglasemalt kui jookseme. Sõudmine on täiesti erinev – aga huvitav väljakutse. Sellel on päris pikk süžee.
Jälitava kurikaela eest põgenedes purjetas kena ja üllas Heake järve äärde. Kurjategija jookseb piki kallast ja ootab, kuni naine ta maanduma paneb. Loomulikult jookseb ta kiiremini kui Dobry ridu ja kui ta jookseb sujuvalt, on Dobry kiirem. Nii et Kurjuse ainus võimalus on saada kaldalt Hea – täpne lask revolvrist pole valik, sest. Heal on väärtuslikku teavet, mida Kurjus teada tahab.
Hea järgib järgmist strateegiat. Ta ujub üle järve, lähenedes järk-järgult kaldale, kuid püüdes olla alati vastasküljel Kurjast, kes jookseb juhuslikult vasakule, siis paremale. See on näidatud joonisel. Olgu Evili stardipositsioon Z1, ja Dobre on järve keskel. Kui Zly kolib Z-sse1, Dobro sõidab D-sse.1kui Bad on Z-s2, hea D kohta2. See hakkab voolama siksakiliselt, kuid järgides reeglit: võimalikult kaugel Z-st. Järve keskpunktist eemaldudes peab Hea aga liikuma järjest suuremate ringidena ja ühel hetkel ei saa. järgige põhimõtet "olema Kurjuse teisel poolel". Seejärel aerutas ta kõigest jõust kaldale, lootes, et Kuri järvest mööda ei lähe. Kas Good õnnestub?
Vastus sõltub sellest, kui kiiresti suudab Good sõuda, võrreldes Badi jalgade väärtusega. Oletame, et Paha Mees jookseb kiirusega s korda suurem kui Hea Mehe kiirus järvel. Seetõttu on suurima ringi raadius, millel Hea saab kurjusele vastu seista, raadiusega üks kord väiksem kui järve raadius. Niisiis, meie joonisel on. Punktis W hakkab meie Kind kalda poole sõudma. See peab minema
kiirusega
Ta vajab aega.
Wicked jahib kõiki oma parimaid jalgu. Ta peab läbima poole ringist, mis võtab tal olenevalt valitud ühikutest sekundeid või minuteid. Kui see on rohkem kui õnnelik lõpp:
Hea läheb. Lihtsad kontod näitavad, mis see peaks olema. Kui halb mees jookseb kiiremini kui 4,14 korda hea mees, ei lõpe see hästi. Ja ka siin sekkub meie number pi.
Mis on ümmargune, see on ilus. Vaatame kolme dekoratiivplaadi fotot – need on mul vanemate järgi. Kui suur on nende vahelise kõverjoonelise kolmnurga pindala? See on lihtne ülesanne; vastus on samal fotol. Me ei imesta, et see valemis esineb - lõppude lõpuks, kus on ümarus, seal on pii.
Kasutasin võib-olla võõrast sõna:. See on saksakeelses kultuuris numbri pi nimi ja seda kõike tänu hollandlastele (tegelikult Hollandis elanud sakslane - rahvusel polnud tol ajal tähtsust), Ludolf Soulenist... 1596. aastal ta arvutas oma laiendusest koma 35 numbrit. See rekord püsis kuni 1853. aastani, mil William Rutherford lugenud 440 kohta. Käsitsi arvutamise rekordiomanik on (ilmselt igavesti) William Shankskes pärast aastatepikkust tööd avaldas (1873) laiendus 702 numbrini. Alles 1946. aastal leiti, et viimased 180 numbrit olid valed, kuid nii see jäigi. 527 õige. Huvitav oli viga ise leida. Varsti pärast Shanksi tulemuse avaldamist kahtlustasid nad, et "midagi on valesti" – seitsmekesi oli arenduses kahtlaselt vähe. Veel tõestamata (detsember 2020) hüpotees väidab, et kõik numbrid peaksid ilmuma sama sagedusega. See ajendas D.T. Fergusoni Shanksi arvutusi üle vaatama ja leidma "õppija" vea!
Hiljem aitasid inimesi kalkulaatorid ja arvutid. Praegune (detsember 2020) rekordiomanik on Timothy Mullican (50 triljonit komakohta). Arvutused kestsid ... 303 päeva. Mängime: kui palju see number tavaraamatusse trükituna ruumi võtaks. Kuni viimase ajani oli teksti trükitud "külg" 1800 tähemärki (30 rida 60 rida). Vähendame märkide arvu ja lehekülje veerisid, topime 5000 tähemärki lehele ja trükime 50 leheküljelisi raamatuid. Seega kuluks XNUMX triljonile tähemärgile kümme miljonit raamatut. Pole paha, eks?
Küsimus on selles, mis on sellise võitluse mõte? Puhtmajanduslikust aspektist vaadatuna, miks peaks maksumaksja maksma sellise matemaatikute "meelelahutuse" eest? Vastus pole keeruline. Esiteks, Soulenist leiutatud toorikud arvutuste jaoks, siis kasulik logaritmiliste arvutuste jaoks. Kui talle oleks öeldud: palun, ehita toorikuid, oleks ta vastanud: miks? Samamoodi käsk:. Nagu teate, polnud see avastus täiesti juhuslik, kuid sellegipoolest oli teist tüüpi uurimistöö kõrvalsaadus.
Teiseks loeme, mida ta kirjutab Timothy Mullican. Siin on reproduktsioon tema loomingu algusest. Professor Mullican tegeleb küberturvalisusega ja pi on nii väike hobi, et ta katsetas just oma uut küberturvasüsteemi.
Ja see 3,14159 inseneriteaduses on enam kui piisav, see on teine teema. Teeme lihtsa arvutuse. Jupiter on Päikesest 4,774 Tm kaugusel (terameeter = 1012 meetrit). Sellise raadiusega ringi ümbermõõdu arvutamiseks absurdse 1 millimeetri täpsusega piisaks, kui võtta π = 3,1415926535897932.
Järgmisel fotol on veerand ring legoklotsidest. Ma kasutasin 1774 padjakest ja see oli umbes 3,08 pi. Pole just parim, aga mida oodata? Ringi ei saa moodustada ruutudest.
Täpselt nii. Arv pi on teatavasti ringi ruut - matemaatiline probleem, mis on oodanud oma lahendust rohkem kui 2000 aastat - juba Kreeka ajast. Kas saate kompassi ja sirge abil konstrueerida ruudu, mille pindala on võrdne antud ringi pindalaga?
Mõiste "ringi ruut" on kõnekeelde jõudnud kui millegi võimatu sümbol. Vajutan klahvi, et küsida, kas see on mingi katse täita vaenukraavi, mis lahutab meie kauni riigi kodanikke? Aga ma juba väldin seda teemat, sest tunnen end ilmselt ainult matemaatikas.
Ja jälle sama asi - ringi ruudustamise ülesande lahendus ei ilmunud nii, et lahenduse autor, Charles Lindemann, aastal 1882 ta asutati ja lõpuks õnnestus. Mingil määral jah, kuid see oli laia rinde rünnaku tulemus. Matemaatikud on õppinud, et on olemas erinevat tüüpi numbreid. Mitte ainult täisarvud, ratsionaalsed (st murdarvud) ja irratsionaalsed. Mõõtmatus võib olla ka parem või halvem. Võib-olla mäletame kooliajast, et irratsionaalne arv on √2 – arv, mis väljendab ruudu diagonaali pikkuse ja selle külje pikkuse suhet. Nagu igal irratsionaalsel arvul, on sellel määramatu laiend. Tuletan meelde, et perioodiline paisumine on ratsionaalsete arvude omadus, s.t. privaatsed täisarvud:
Siin kordub lõputult arvude jada 142857. √2 puhul seda ei juhtu – see on osa irratsionaalsusest. Kuid saate:
(murd jätkub igavesti). Näeme siin mustrit, kuid erinevat tüüpi. Pi pole isegi nii tavaline. Seda ei saa saada algebralise võrrandi lahendamisega – st sellise võrrandiga, milles pole ruutjuurt, logaritmi ega trigonomeetrilisi funktsioone. See juba näitab, et see ei ole konstrueeritav – ringide joonistamine viib ruutfunktsioonideni ja sirged – sirged – esimese astme võrranditeni.
Võib-olla kaldusin põhisüžeest kõrvale. Alles kogu matemaatika areng võimaldas naasta algte juurde – meie jaoks Euroopa mõttekultuuri loonud mõtlejate iidse kauni matemaatika juurde, mis on tänapäeval nii mõnelegi kaheldav.
Paljude esinduslike mustrite seast valisin kaks. Neist esimest seostame perekonnanimega Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Kuid keskaegne hindude õpetlane Madhava Sangamagrammist (1350–1425) tundis teda (mudel, mitte Leibniz). Info edastamine tol ajal ei olnud suur - Interneti-ühendused olid sageli lollakad ja mobiiltelefonide jaoks puudusid akud (sest elektroonikat polnud veel leiutatud!). Valem on ilus, aga arvutusteks kasutu. Sajast koostisosast saadakse "ainult" 3,15159.
ta on natuke parem Viète'i valem (ruutvõrrandi oma) ja selle valemit on lihtne programmeerida, kuna korrutise järgmine liige on ruutjuur eelmisest pluss kahest.
Teame, et ring on ümmargune. Võime öelda, et see on 100 protsenti voor. Matemaatik küsib: kas midagi ei saa olla 1 protsenti ümmargune? Ilmselt on see oksüümoron, fraas, mis sisaldab varjatud vastuolu, nagu näiteks kuum jää. Kuid proovime mõõta, kui ümarad võivad kujundid olla. Selgub, et hea mõõdu annab järgmine valem, milles S on kujundi pindala ja L on kujundi ümbermõõt. Uurime, et ring on tõesti ümmargune, et sigma on 6. Ringi pindala on ümbermõõt. Sisestame ... ja vaatame, mis on õige. Kui ümmargune ruut on? Arvutused on sama lihtsad, ma isegi ei anna neid. Võtke tavaline kuusnurk, mis on kirjutatud raadiusega ringi. Ümbermõõt on ilmselgelt XNUMX.
Poolakas
Kuidas oleks tavalise kuusnurgaga? Selle ümbermõõt on 6 ja pindala
Nii et meil on
mis on ligikaudu võrdne 0,952-ga. Kuusnurk on enam kui 95% ulatuses "ümmargune".
Huvitav tulemus saadakse spordistaadioni ümaruse arvutamisel. IAAF-i reeglite järgi peavad sirged ja kurvid olema 40 meetrit pikad, kuigi kõrvalekalded on lubatud. Mäletan, et Bisleti staadion Oslos oli kitsas ja pikk. Kirjutan "oli", sest ma isegi jooksin sellel (amatööri jaoks!), Aga rohkem kui XNUMX aastat tagasi. Vaatame:
Kui kaare raadius on 100 meetrit, on selle kaare raadius meetrit. Muruplatsi pindala on ruutmeetreid ja väljaspool seda (kus on hüppelauad) on kokku ruutmeetreid. Ühendame selle valemiga:
Kas spordistaadioni ümarusel on siis midagi pistmist võrdkülgse kolmnurgaga? Kuna võrdkülgse kolmnurga kõrgus on sama mitu korda küljega. See on numbrite juhuslik kokkulangevus, kuid see on tore. Mulle meeldib see. Ja lugejad?
Hea, et see on ümmargune, kuigi mõni võib vastu vaielda, sest viirus, mis meid kõiki mõjutab, on ümmargune. Vähemalt nii nad seda joonistavad.
