Šifrid ja spioonid

Tänases matemaatikanurgas heidan pilgu teemale, mida arutasin riikliku lastefondi iga-aastases lastele mõeldud teaduslaagris. Sihtasutus otsib teadushuviga lapsi ja noori. Sa ei pea olema väga andekas, kuid sul peab olema "teaduslik suund". Väga häid koolihinneid ei nõuta. Proovige, see võib teile meeldida. Kui oled põhikooli või gümnaasiumi vanema astme õpilane, kandideeri. Tavaliselt koostavad aruanded vanemad või kool, kuid see ei ole alati nii. Otsige üles fondi veebisait ja uurige.

Üha enam räägitakse koolis "kodeerimisest", viidates varem "programmeerimise" nime all tuntud tegevusele. See on teoreetiliste koolitajate jaoks tavaline protseduur. Nad kaevavad välja vanad meetodid, annavad neile uue nime ja "edenemine" hoolitseb iseenesest. On mitmeid valdkondi, kus selline tsükliline nähtus esineb.

Sellest võib järeldada, et ma devalveerin didaktikat. Ei. Tsivilisatsiooni arengus pöördume mõnikord tagasi selle juurde, mis oli, oli mahajäetud ja nüüd taaselustatakse. Aga meie kant on matemaatiline, mitte filosoofiline.

Konkreetsesse kogukonda kuulumine tähendab ka "ühiseid sümboleid", ühiseid lugemisi, ütlusi ja tähendamissõnu. See, kes õppis suurepäraselt poola keele “Sczebrzeszynis on suur tihnik, roostikus sumiseb mardikas”, paljastatakse kohe kui välisriigi spioonina, kui ta ei vasta küsimusele, mida rähn teeb. Muidugi ta lämbub!

See pole lihtsalt nali. 1944. aasta detsembris alustasid sakslased suurte kuludega viimast pealetungi Ardennides. Nad mobiliseerisid sõdureid, kes rääkisid soravalt inglise keelt, et segada liitlasvägede liikumist, näiteks juhtides neid ristteel vales suunas. Pärast üllatusmomenti hakkasid ameeriklased sõduritele küsima kahtlaseid küsimusi, mille vastused oleksid Texasest, Nebraskast või Georgiast pärit inimesele ilmselged ja mõeldamatud inimesele, kes seal ei kasvanud. Teadmatus tegelikkusest viis otse hukkamiseni.

Täiendavalt. Soovitan lugejatele Lukasz Badowski ja Zaslaw Adamasheki raamatut "Laboratoorium lauasahtlis – matemaatika". See on suurepärane raamat, mis näitab hiilgavalt, et matemaatikast on tõesti millekski kasu ja et "matemaatikakatse" ei ole tühjad sõnad. See sisaldab muuhulgas kirjeldatud "papp-mõistatuse" konstruktsiooni - seadet, mille loomiseks kulub meil vaid viisteist minutit ja mis töötab nagu tõsine šifreerimismasin. Idee ise oli nii tuntud, mainitud autorid töötasid selle ilusti välja ja ma muudan seda veidi ja keeran matemaatilisemasse riietusse.

rauasaed

Minu Varssavi äärelinnas asuva suvila küla ühel tänaval võeti hiljuti lahti sillutis “trlinka” - kuusnurksetest sillutusplaatidest. Sõit oli ebamugav, kuid matemaatiku hing rõõmustas. Tasapinna katmine korrapäraste (s.t. korrapäraste) hulknurkadega pole lihtne. See võib olla ainult kolmnurgad, ruudud ja tavalised kuusnurgad.

Võib-olla tegin selle vaimse rõõmuga natuke nalja, aga kuusnurk on ilus kuju. Sellest saate teha üsna eduka krüpteerimisseadme. Geomeetria aitab. Kuusnurgal on pöörlemissümmeetria – see kattub 60-kraadise pöördega. Vasakus ülanurgas näiteks A-tähega tähistatud väli joon. 1 peale selle nurga läbi keeramist langeb see ka kasti A - ja sama ka teiste tähtedega. Nii et lõikame ruudustikust välja kuus ruutu, millest igaühel on erinev täht. Sel viisil saadud ruudustiku paneme paberilehele. Sisestage kuuele vabale väljale kuus tähte tekstist, mida tahame krüpteerida. Pöörame lehte 60 kraadi. Ilmub kuus uut välja – sisestage meie sõnumi järgmised kuus tähte.

Riis. 1. Matemaatika rõõmu lingid.

Õigus joon. 1 meil on tekst kodeeritud nii: "Jaamas on tohutu raske auruvedur."

Nüüd tuleb väike koolimatemaatika kasuks. Mitmel viisil saab kahte arvu üksteise suhtes paigutada?

Mis loll küsimus? Kahele: kas üks ees või teine.

Suurepärane. Ja kolm numbrit?

Samuti pole keeruline kõiki seadeid loetleda:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

Noh, see on neljale! Seda saab ikka selgelt välja kirjutada. Arva ära järjekorrareegel, mille panin:

1234, 1243, 1423 4123, 1324, 1342,

1432 4132, 2134, 2143, 2413 4213

2314, 2341, 2431 4231, 3124, 3142,

3412 4312, 3214, 3241, 3421 4321

Kui numbrid on viis, saame 120 võimalikku seadistust. Helistame neile permutatsioonid. N arvu võimalike permutatsioonide arv on korrutis 1 2 3 ... n, mida nimetatakse tugev ja märgitud hüüumärgiga: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Järgmise numbri 6 jaoks on meil 6!=720. Kasutame seda oma kuusnurkse šifrikilbi keerukamaks muutmiseks.

Valime arvude permutatsiooni vahemikus 0 kuni 5, näiteks 351042. Meie kuusnurksel skrambleerimiskettal on keskväljal kriips – nii et seda saab panna "nullpositsiooni" - kriips üles, nagu joonisel fig. 1. Asetame ketta sel viisil paberilehele, millele peame oma aruande kirjutama, kuid me ei kirjuta seda kohe, vaid pöörame kolm korda 60 kraadi (s.o 180 kraadi) ja sisestame kuus tähte. tühjad väljad. Me pöördume tagasi algasendisse. Keerame sihverplaati viis korda 60 kraadi võrra, see tähendab oma sihverplaadi viie "hamba" võrra. Trükime. Järgmine skaala asend on 60 kraadi ümber nulli pööratud asend. Neljas asend on 0 kraadi, see on lähteasend.

Kas saate aru, mis juhtus? Meil on lisavõimalus – muuta meie "masin" rohkem kui seitsesada korda keerulisemaks! Niisiis, meil on "automaadi" kaks sõltumatut positsiooni - ruudustiku valik ja permutatsiooni valik. Ruudu saab valida 66 = 46656 viisil, permutatsioon 720. See annab 33592320 võimalust. Üle 33 miljoni šifri! Peaaegu veidi vähem, sest mõnda ruudustikku ei saa paberist välja lõigata.

Alumises osas joon. 1 meil on sõnum kodeeritud järgmiselt: "Ma saadan teile neli langevarjudiviisi." On lihtne mõista, et vaenlasel ei tohi sellest teada saada. Aga kas ta saab sellest midagi aru:

TPOROPVMANVEORDISZ

YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY

isegi allkirjaga 351042?

Ehitame Saksa šifreerimismasinat Enigma

Riis. 2. Meie krüpteerimismasina algseadistuse näide.

Permutatsioonid (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

Nagu ma juba mainisin, võlgnen sellise pappmasina loomise idee raamatule "Labor sahtlis - matemaatika". Minu “konstruktsioon” erineb mõnevõrra selle autorite poolt antud.

Sakslaste sõja ajal kasutusel olnud šifreerimismasinal oli geniaalselt lihtne põhimõte, mis sarnanes mõneti sellega, mida nägime kuusešifri puhul. Iga kord sama asi: katkesta raske määramine tähe teisele tähele. See peab olema vahetatav. Kuidas seda teha, et omada kontrolli selle üle?

Valime mitte suvalise permutatsiooni, vaid sellise, mille tsüklid on pikkusega 2. Lihtsamalt öeldes midagi sellist nagu siin paar kuud tagasi kirjeldatud Gaderipoluk, kuid mis hõlmab kõiki tähestiku tähti. Lepime kokku 24 tähes - ilma ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. Kui palju selliseid permutatsioone on? See on abiturientide ülesanne (seda peaks saama kohe lahendada). Kui palju? Palju? Mitu tuhat? Jah:

1912098225024001185793365052108800000000 (ärme isegi proovi seda numbrit lugeda). Null-asendi seadmiseks on nii palju võimalusi. Ja see võib olla raske.

Meie masin koosneb kahest ümmargusest kettast. Ühele neist, mis praegugi seisab, on kirjutatud tähed. See on natuke nagu vana telefoni sihverplaat, kus valisite numbrit lõpuni keerates. Rotary on teine ​​värvilahendusega. Lihtsaim viis on panna need tihvti abil tavalisele korgile. Korgi asemel võite kasutada õhukest tahvlit või paksu pappi. Lukasz Badowski ja Zasław Adamaszek soovitavad asetada mõlemad plaadid CD karpi.

Kujutage ette, et tahame kodeerida sõna ARMATY (Riis. 2 ja 3). Seadke seade nullasendisse (nool üles). Täht A vastab tähele F. Pöörake siseahelat ühe tähe võrra paremale. Meil on kodeerimiseks täht R, nüüd vastab see A-le. Pärast järgmist pööramist näeme, et täht M vastab U-le. Järgmine pööre (neljas diagramm) annab vastavuse A - P. Viiendal sihverplaadil on T - A. Lõpuks (kuues ring) J – J Vaenlane ilmselt ei arva, et meie CFCFA-d on talle ohtlikud. Ja kuidas “meie oma” saadetist loeb? Neil peab olema sama masin, sama "programmeeritud", see tähendab sama permutatsiooniga. Šifr algab positsioonist null. Seega on F väärtus A. Keerake ketast päripäeva. A-täht on nüüd seotud R-ga. Ta keerab sihverplaadi paremale ja U-tähe alt leiab M jne. Šifreerija jookseb kindrali juurde: "Kindral, ma teatan, relvad tulevad!"

Riis. 3. Meie paberi Enigma tööpõhimõte.

Riis. 3. Meie paberi Enigma tööpõhimõte.

Isegi sellise primitiivse Enigma võimalused on hämmastavad. Saame valida muid väljundpermutatsioone. Me saame - ja siin on veelgi rohkem võimalusi - mitte ühe "serifi" abil regulaarselt, vaid teatud, igapäevaselt muutuvas järjekorras, sarnaselt kuusnurgaga (näiteks kõigepealt kolm tähte, seejärel seitse, siis kaheksa, neli ... .. jne.).

Kuidas sa oskad arvata?! Ja veel Poola matemaatikutele (Marian Reevski, Henryk Zigalskist, Ezhi Ruzicki) juhtus. Nii saadud teave oli hindamatu. Varem oli neil sama oluline panus meie kaitseajalukku. Vaclav Sierpinski i Stanislav Mazurkevitškes rikkusid 1920. aastal Vene vägede koodeksit. Pealt võetud kaabel andis Piłsudskile võimaluse teha kuulus manööver Vepszi jõest.

Mäletan Vaslav Sierpinskit (1882-1969). Ta tundus matemaatikuna, kelle jaoks välismaailma ei eksisteerinud. Oma osalemisest 1920. aasta võidus ei saanud ta rääkida nii sõjalistel kui ... poliitilistel põhjustel (Poola Rahvavabariigi võimudele ei meeldinud need, kes meid Nõukogude Liidu eest kaitsesid).

Joonis fig. 4. Permutatsioon (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

Riis. 5. Kaunis kaunistus, kuid krüpteerimiseks ei sobi. Liiga regulaarselt.

1i töö. Na joon. 4 teil on Enigma loomiseks veel üks permutatsioon. Kopeerige joonis kserograafile. Ehita auto, kodeeri oma ees- ja perekonnanimi. Minu CWONUE JTRYGT. Kui soovite oma märkmeid privaatsena hoida, kasutage Cardboard Enigmat.

2i töö. Krüpteerige oma ühe nähtud "auto" nimi ja perekonnanimi, kuid (tähelepanu!) täiendava komplikatsiooniga: me ei pööra ühtki pügalat paremale, vaid vastavalt skeemile {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - see tähendab kõigepealt ühe, siis kahe, siis kolme, siis 2, siis jälle 1, siis 2 jne võrra, selline “lainetus” . Veenduge, et minu ees- ja perekonnanimi oleks krüpteeritud kui CZTTAK SDBITH. Kas saate nüüd aru, kui võimas Enigma masin oli?

Probleemide lahendamine abiturientidele. Mitu konfiguratsioonivalikut Enigma jaoks (selles versioonis, nagu artiklis kirjeldatud)? Meil on 24 kirja. Valime esimese tähepaari - seda saab teha

viise. Järgmise paari saab valida

viise, rohkem

jne. Pärast vastavaid arvutusi (kõik arvud tuleb korrutada) saame

151476660579404160000

Seejärel jagage see arv 12-ga! (12 faktoriaalset), sest samu paare saab saada erinevas järjekorras. Nii et lõpuks saame "kokku"

316234143225

see on veidi üle 300 miljardi, mis ei tundu tänapäeva superarvutite jaoks vapustavalt suur arv. Kui aga võtta arvesse permutatsioonide endi juhuslikku järjestust, suureneb see arv oluliselt. Võime mõelda ka teist tüüpi permutatsioonidele.

Vaata ka: