Artikkel mitte millestki

Mind köitis lapsena ilmselt paljudele lugejatele tuntud lugu "supp küüne peal". Mu vanaema (XNUMX. sajand) rääkis mulle seda versioonis "Kasakas tuli ja palus vett, sest tal on küüs ja ta keedab selle peal suppi." Uudishimulik perenaine andis talle poti vett... ja me teame, mis edasi juhtus: "supp peab olema soolane, daitye, vanaema, soolane", siis pesi ta liha "maitse parandamiseks" ja nii edasi. Lõpuks viskas "keedetud" küüne minema.

Nii et see artikkel pidi rääkima kosmose tühjusest – ja see puudutab Euroopa aparaadi maandumist komeedile 67P / Churyumov-Gerasimenko 12. novembril 2014. Kuid kirjutades alistusin kauaaegsele harjumusele, Ma olen ikka matemaatik. Kuidas on lood meeldibс Null matemaatikas?

Kuidas Midagi ei eksisteeri?

Ei saa öelda, et Midagi pole olemas. See eksisteerib vähemalt filosoofilise, matemaatilise, religioosse ja täiesti kõnekeelne mõistena. Null on tavaline arv, null kraadi termomeetril on ka temperatuur ja nullbilanss pangas on ebameeldiv, kuid tavaline nähtus. Pange tähele, et kronoloogias ei ole null-aastat ja selle põhjuseks on asjaolu, et null viidi matemaatikasse alles hiliskeskajal, hiljem kui munk Dionysiose pakutud kronoloogia (XNUMX. sajand).

Kummalisel kombel saaksime tõesti hakkama ilma selle nullita ja seega ka negatiivsete arvudeta. Ühest loogikaõpikust leidsin harjutuse: joonista või ütle, kuidas kujutad ette kala puudumist. Hämmastav, kas pole? Igaüks oskab kala joonistada, aga mitte üks?

Nüüd lühidalt matemaatika algkursus. Läbikriipsutatud ringiga ∅ tähistatud tühjale hulgale olemasoluõiguse andmine on vajalik protseduur, mis on analoogne arvude hulka nulli lisamisega. Tühi komplekt on ainus komplekt, mis ei sisalda elemente. Sellised kogud:

Kuid pole olemas kahte erinevat tühja komplekti. Tühi komplekt sisaldub igas teises komplektis:

Tõepoolest, matemaatilise loogika reeglid ütlevad, et hulk A sisaldub hulgas B siis ja ainult siis, kui lause:

sellega kaasneb

Tühja hulga ∅ korral on väide alati väär ja seega on loogikaseaduste kohaselt implikatsioon üldiselt tõene. Kõik tuleneb valest (“siin kasvatan ma kaktuse, kui kolid järgmisse klassi ...”). Seega, kuna tühi komplekt sisaldub kõigis teistes, siis kui need oleksid kaks erinevat, sisalduks igaüks neist teises. Kui aga kaks hulka kuuluvad üksteise sees, on need võrdsed. Sellepärast: on ainult üks tühi komplekt!

Tühja hulga olemasolu postulaat ei ole vastuolus ühegi matemaatikaseadusega, miks siis mitte see ellu äratada? Filosoofiline printsiip nnOccami habemenuga» Korraldus mittevajalike mõistete välistamiseks, kuid täpselt õige tühja hulga mõiste on matemaatikas väga kasulik. Pange tähele, et tühja hulga mõõde on -1 (miinus üks) - nullmõõtmelised elemendid on punktid ja nende hõredad süsteemid, ühemõõtmelised elemendid on jooned ning me rääkisime peatükis väga keerukatest matemaatilistest elementidest, millel on fraktaalmõõde. fraktaalidel.

Huvitav on see, et kogu matemaatika hoone: arvud, arvud, funktsioonid, operaatorid, integraalid, diferentsiaalid, võrrandid ... saab tuletada ühest mõistest - tühjast hulgast! Piisab, kui eeldada, et on tühi komplekt, vastloodud elemendid saab komplektideks kombineerida, et saaks ehitada kogu matemaatika. Nii konstrueeris naturaalarvud saksa loogik Gottlob Frege. Null on hulkade klass, mille elemendid on vastastikuses vastavuses tühja hulga elementidega. Üks on hulkade klass, mille elemendid on vastastikuses vastavuses hulga elementidega, mille ainsaks elemendiks on tühi hulk. Two on hulkade klass, mille elemendid on üks-ühele tühjast hulgast koosneva hulga elementidega ja hulgast, mille ainsaks elemendiks on tühi hulk... ja nii edasi. Esmapilgul tundub, et see on midagi väga keerulist, kuid tegelikult pole see nii.

Sinine levis üle minu

lõhnas kanarbiku järele ja lõhnas piparmündi järele...

Wojciech Mlynarski, Lõikustüdruk

Seda on raske ette kujutada

Midagi pole raske ette kujutada. Stanisław Lemi loos "Kuidas maailm päästeti" ehitas disainer Trurl masina, mis teeks kõike alates tähest. Kui Klapaucius käskis selle ehitada Nic, hakkas masin maailmast erinevaid objekte eemaldama – lõppeesmärgiga kõik eemaldada. Selleks ajaks, kui hirmunud Klapaucius auto peatas, olid maailmast igaveseks kadunud kambüüsid, jugapuud, rippuvad, hakid, riimid, peksjad, poufid, veskid, vardas, filidronid ja pakane. Ja tõepoolest, nad kadusid igaveseks ...

Józef Tischner kirjutas oma mäefilosoofia ajaloos väga hästi eimiskist. Eelmisel puhkusel otsustasin seda tühisust kogeda, nimelt käisin Podhales Nowy Targi ja Jabłonka vahel turbarabas. Seda piirkonda nimetatakse isegi Pustachiaks. Lähed, lähed, aga tee ei vähene – muidugi meie tagasihoidlikus Poola mastaabis. Ühel päeval sõitsin bussiga Kanada Saskatchewani provintsis. Väljas oli maisipõld. Tegin pool tundi uinakut. Kui ärkasin, sõitsime läbi sama maisipõllu... Aga oota, kas see on tühi? Mõnes mõttes on muutuste puudumine lihtsalt tühjus.

Oleme harjunud erinevate objektide pideva kohaloluga meie ümber ja alates midagi sa ei saa põgeneda isegi suletud silmadega. "Ma mõtlen, järelikult olen," ütles Descartes. Kui ma olen juba midagi mõelnud, siis ma olen olemas, mis tähendab, et maailmas on vähemalt midagi (nimelt mina). Kas see, mida ma arvasin, on olemas? Selle üle võib arutleda, kuid tänapäevases kvantmehaanikas tuntakse Heisenbergi printsiipi: iga vaatlus häirib vaadeldava objekti olekut. Kuni me seda näeme Nic seda pole olemas ja kui me otsima hakkame, lakkab objekt olemast meeldib ja see muutub midagi. Asi läheb absurdseks antroopiline põhimõte: Pole mõtet küsida, milline oleks maailm, kui meid poleks olemas. Maailm on selline, nagu meile tundub. Võib-olla näevad teised olendid Maad nurgelisena?

Positron (selline positiivne elektron) on auk ruumis, "elektroni pole olemas". Annihilatsiooni käigus hüppab elektron sellesse auku ja “midagi ei juhtu” – pole auku, pole elektroni. Jätan vahele paljud naljad Šveitsi juustu aukude kohta ("mida rohkem mul on, seda vähem ..."). Kuulus helilooja John Cage oli oma ideid juba sedavõrd kasutanud, et komponeeris (?) muusikapala (?), milles orkester istub liikumatult 4 minutit 33 sekundit ja loomulikult ei mängi midagi. "Neli minutit ja kolmkümmend kolm sekundit on kakssada seitsekümmend kolm, 273 ja miinus 273 kraadi on absoluutne null, mille juures kogu liikumine peatub," selgitas helilooja (?).

Filtreeri null, mitte midagi, hüüdnimi, hüüdnimi, mitte midagi, null!

Jerzy Andrzej Wajda filmis Aastate jooksul

päevad mööduvad"

Kuidas oleks kõigiga?

Paljud inimesed (lihtpõllumeestest silmapaistvate filosoofideni) imestasid eksistentsi fenomeni üle. Matemaatikas on olukord lihtne: on midagi, mis on järjepidev.

Ta kadus äärealadele

Rukkililledes, umbrohtudes ja lõvisuudmes ...

No selliseid asju juhtub

Eriti saagikoristuse ajal ja saagikoristuse ajal

eriti…

Wojciech Mlynarski, Lõikustüdruk

Kõik on Mittemillegi teises äärmuses. Matemaatikas me teame seda Kõike pole olemas. Lihtsalt liiga ebatäpne arusaam, et tema olemasolu oleks vaidlustest vaba. Seda saab mõista vana paradoksi näitel: "Kui Jumal on kõikvõimas, siis loo kivi, mida korjata?" Matemaatiline tõestus, et kõigi hulkade hulka ei saa olla, põhineb teoreemil laulja-Bershtein, mis ütleb, et "lõpmatu arv" (matemaatiline: kardinaalne number) antud hulga kõigi liikmete hulk on suurem kui selle hulga elementide arv.

Kui hulgal on elemente, siis on sellel 2ⁿ alamhulgad; Näiteks kui = 3 ja hulk koosneb {1, 2, 3}, siis on olemas järgmised alamhulgad:

• kolm kaheelemendilist komplekti: igal neist puudub üks numbritest 1, 2, 3,
• üks tühi komplekt,
• kolm üheelemendilist komplekti,
• kogu komplekt {1,2,3}

– ainult kaheksa, 2³Ja hiljuti kooli lõpetanud lugejatele tahaksin meenutada vastavat valemit:

Iga Newtoni sümbol selles valemis määrab k-elemendiliste hulkade arvu -elementide hulgas.

Matemaatikas esinevad binoomkoefitsiendid paljudes teistes kohtades, näiteks huvitavates vähendatud korrutamise valemites:

ja nende täpse vormi järgi on nende vastastikune sõltuvus palju huvitavam.

On raske aru saada, mis – mis puudutab loogikat ja matemaatikat – on ja mis Kõik mitte. Argumendid olematuse poolt Täpselt sama, mis Karupoeg Puhhil, kes küsis viisakalt oma külaliselt Tiigrilt, kas Tiigritele üldse meeldib mesi, tammetõrud ja ohakad? "Tiigritele meeldib kõik," vastas see, millest Kubus järeldas, et kui neile meeldib kõik, siis meeldib neile ka põrandal magada, nii et tema, Vinnie, võib voodisse tagasi pöörduda.

Veel üks argument Russelli paradoks. Linnas on juuksur, kes raseerib kõik mehed, kes ennast ei raseeri. Kas ta raseerib ennast? Mõlemad vastused on vastuolus seatud tingimusega, et nad tapavad neid ja ainult neid, kes seda ise ei tee.

Otsin kõigi kollektsioonide kollektsiooni

Kokkuvõtteks annan nutika, kuid kõige matemaatilisema tõestuse, et kõigi hulkade hulka pole olemas (mitte sellega segi ajada).

Esiteks näitame, et iga mittetühja hulga X puhul on võimatu leida vastastikku kordumatut funktsiooni, mis vastendaks selle hulga selle alamhulkade P(X) hulgaga. Oletame, et see funktsioon on olemas. Tähistame seda traditsioonilise f-ga. Mis on f x-st? See on kollektsioon. Kas xf kuulub x-i? See on teadmata. Kas pead või mitte. Aga mõne x puhul peab see ikkagi olema selline, et ta ei kuulu x-i f-i. Vaatleme siis kõigi x-ide hulka, mille puhul x ei kuulu f(x-i). Tähistame seda (seda hulka) tähega A. See vastab hulga X mõnele elemendile a. Kas a kuulub A hulka? Oletame, et peaksite. Kuid A on hulk, mis sisaldab ainult neid x-i elemente, mis ei kuulu f(x)-sse ... No võib-olla see ei kuulu A-sse? Kuid hulk A sisaldab kõiki selle omaduse elemente ja seega ka A. Tõestuse lõpp.

Seega, kui oleks olemas kõigi hulkade hulk, oleks ta ise iseenda alamhulk, mis eelneva arutluskäigu kohaselt on võimatu.

Pheh, ma arvan, et paljud lugejad pole seda tõestust näinud. Pigem tõin selle välja, et näidata, mida matemaatikud pidid tegema XIX sajandi lõpus, kui nad hakkasid uurima omaenda teaduse aluseid. Selgus, et probleemid peituvad seal, kus keegi neid ei oodanud. Veelgi enam, kogu matemaatika jaoks pole need aluste arutlused olulised: ükskõik mis keldrites ka ei juhtuks – kogu matemaatikahoone seisab kindlal kaljul.

Vahepeal tipus...

Stanislav Lemi lugudest märgime veel ühe moraali. Ühel oma reisil jõudis Iyon Tichi planeedile, mille elanikud jõudsid pärast pikka evolutsiooni lõpuks kõrgeima arenguastmeni. Nad kõik on tugevad, suudavad kõike, neil on kõik käe-jala juures... ja nad ei tee midagi. Nad heidavad liivale pikali ja valavad seda näppude vahele. "Kui kõik on võimalik, pole see seda väärt," selgitavad nad šokeeritud Ijonile. Las see ei juhtu meie Euroopa tsivilisatsiooniga...