NII KELLELE, see tähendab: PROOVI, KUS SAAB – 2. osa

Eelmises osas käsitlesime Sudokut, aritmeetikamängu, kus arvud on põhimõtteliselt kindlate reeglite järgi paigutatud erinevatesse diagrammidesse. Levinuim variant on 9×9 malelaud, mis on lisaks jagatud üheksaks 3×3 lahtriks. Numbrid 1 kuni 9 tuleb sellele seada nii, et need ei korduks vertikaalses reas (matemaatikud ütlevad: veerus) ega horisontaalses reas (matemaatikud ütlevad: reas) - ja pealegi nii, et nad ei kordu. korrake suvalises väiksemas ruudus.

Na joon. 1 näeme seda puslet lihtsamas versioonis, mis on 6 × 6 ristkülikuteks jagatud ruut suurusega 2 × 3. Sisestame sellesse numbrid 1, 2, 3, 4, 5, 6 - et need ei korduks vertikaalselt ega ka horisontaalselt ega ka igas valitud kuusnurgas.

Proovime ülemises ruudus näidatud. Kas saate selle mängu reeglite järgi täita numbritega 1 kuni 6? See on võimalik – aga kahemõtteline. Vaatame – joonista ruut vasakule või ruut paremale.

Võime öelda, et see ei ole pusle aluseks. Tavaliselt eeldame, et mõistatusel on üks lahendus. Ülesanne "suurele" Sudokule, 9x9, erinevate aluste leidmine on keeruline ülesanne ja puudub võimalus seda täielikult lahendada.

Teine oluline seos on vastuoluline süsteem. Alumist keskmist ruutu (seda, mille all paremas nurgas on number 2) ei saa täita. Miks?

Lõbusad ja retriidid

Mängime edasi. Kasutame laste intuitsiooni. Nad usuvad, et meelelahutus on õppimise sissejuhatus. Lähme kosmosesse. sisse lülitatud joon. 2 kõik näevad võrku tetraeederpallidest, näiteks pingpongi pallid? Tuletage meelde kooli geomeetria tunde. Pildi vasakpoolses servas olevad värvid selgitavad, mille külge see ploki kokkupanemisel liimitakse. Eelkõige liimitakse kokku kolm nurgast (punast) palli. Seetõttu peavad need olema samad. Võib-olla 9. Miks? Ja miks mitte?

Oh, ma ei sõnastanud seda ülesandeid. See kõlab umbes nii: kas nähtavale ruudustikule on võimalik kirjutada numbreid 0-st 9-ni nii, et iga tahk sisaldab kõiki numbreid? Ülesanne pole keeruline, kuid kui palju on vaja ette kujutada! Ma ei riku lugejate naudingut ega anna lahendust.

See on väga ilus ja alahinnatud kujund. tavaline oktaeeder, mis on ehitatud kahest püramiidist (=püramiidid), millel on nelinurkne alus. Nagu nimigi ütleb, on oktaeedril kaheksa tahku.

Oktaeedris on kuus tippu. See on vastuolus kuubikmillel on kuus tahku ja kaheksa tippu. Mõlema tüki servad on ühesugused – kumbagi kaksteist. See kahekordsed tahked ained - see tähendab, et kuubi tahkude keskpunkte ühendades saame oktaeedri ja oktaeedri tahkude keskpunktid annavad meile kuubiku. Mõlemad löögid toimivad ("sest nad peavad") Euleri valem: tippude arvu ja tahkude arvu summa on 2 võrra suurem kui servade arv.

3. Paralleelprojektsioonis korrapärane oktaeedr ja sfääridest koosnev oktaeedrivõre nii, et igas servas on neli sfääri.

1i töö. Kõigepealt kirjutage matemaatilise valemi abil üles eelmise lõigu viimane lause. peal joon. 3 näete oktaeedrilist võret, mis koosneb samuti sfääridest. Igal serval on neli palli. Iga tahk on kümnest sfäärist koosnev kolmnurk. Ülesanne seatakse iseseisvalt: kas ruudustiku ringidesse on võimalik panna numbreid 0-st 9-ni nii, et pärast tahke keha liimimist on igal seinal kõik numbrid (sellest järeldub, et ilma kordamiseta). Nagu varemgi, on selle ülesande suurim raskus see, kuidas võrk muudetakse tahkeks kehaks. Ma ei saa seda kirjalikult selgitada, seega ei anna ma ka siin lahendust.

4. Kaks ikosaeedrit ping-pongi pallidest. Pange tähele erinevat värviskeemi.

juba Plato (ja ta elas XNUMX.-XNUMX. sajandil eKr) tundis kõiki korrapäraseid hulktahukaid: tetraeedrit, kuubikut, oktaeedrit, dodekaeder i ikosaeder. See on hämmastav, kuidas ta sinna sattus – ei pliiatsit, paberit, pastakat, raamatuid, nutitelefoni ega internetti! Dodekaeedrist ma siin ei räägi. Kuid ikosaeedriline sudoku on huvitav. Me näeme seda tükki peal illustratsioon 4ja selle võrk joonis 5.

5. Ikosaeedri korrapärane võrk.

Nagu varemgi, pole see ruudustik selles mõttes, nagu me mäletame (?!) kooliajast, vaid viis, kuidas pallidest (pallidest) kolmnurki liimida.

2i töö. Mitu palli kulub sellise ikosaeedri ehitamiseks? Kas jääb õigeks järgmine arutluskäik: kuna iga tahk on kolmnurk, siis kui tahke peab olema 20, siis on vaja koguni 60 sfääri?

6. Ikosaeedri võrk sfääridest. Iga ring on näiteks pingpongi pall, kuid ringide ehitus sama värviga tähistatud ringidel sulandub üheks. Seega on meil kaksteist sfääri (= kaksteist tippu: punane, sinine, lilla, sinine ja kaheksa kollast).

On lihtne näha, et kolmest numbrist ikosaeedris ei piisa. Täpsemalt: pole võimalik loendada tippe numbritega 1, 2, 3 nii, et igal (kolmnurksel) tahul on need kolm numbrit ja kordusi poleks. Kas see on võimalik nelja numbriga? Jah, see on võimalik! Vaatame edasi Riis. 6 ja 7.

7. Siit saate teada, kuidas nummerdada ikosaeedri moodustavaid sfääre nii, et iga tahk sisaldaks muid numbreid peale 1, 2, 3, 4. Millised kehad joonisel fig. 4 on sellise värviga?

3i töö. Neljast arvust kolme saab valida neljal viisil: 123, 124, 134, 234. Leidke joonisel fig. 7 (nagu ka alates illustratsioonid üks).

4-i määramine (nõuab väga head ruumilist kujutlusvõimet). Ikosaeedril on kaksteist tippu, mis tähendab, et seda saab kokku liimida kaheteistkümnest kuulist (joon. 7). Pange tähele, et seal on kolm tippu (=pallid), mis on tähistatud 1-ga, kolm 2-ga ja nii edasi. Seega moodustavad sama värvi pallid kolmnurga. Mis see kolmnurk on? Äkki võrdkülgne? Vaata uuesti illustratsioonid üks.

Järgmine ülesanne vanaisale / vanaemale ja lapselapsele / tütretütrele. Ka vanemad saavad lõpuks kätt proovida, kuid neil on vaja kannatust ja aega.

5i töö. Osta kaksteist (soovitavalt 24) pingpongi palli, mingi nelja värvi värvi, pintsel ja õige liim – ma ei soovita kiireid nagu Superglue või Droplet, sest need kuivavad liiga kiiresti ja on lastele ohtlikud. Liimi ikosaeedri külge. Riietage oma lapselaps T-särki, mis pestakse (või visatakse minema) kohe pärast seda. Kata laud fooliumiga (soovitavalt ajalehtedega). Värvige ikosaeedrit ettevaatlikult nelja värviga 1, 2, 3, 4, nagu on näidatud joonisel fig. joon. 7. Järjekorda saab muuta – esmalt värvi õhupallid ära ja siis liimi. Samas tuleb imepisikesed ringid värvimata jätta, et värv värvi külge ei jääks.

Nüüd kõige raskem ülesanne (täpsemalt kogu nende järjestus).

6-i määramine (Täpsemalt üldteema). Joonistage ikosaeeder tetraeedrina ja oktaeedrina Riis. 2 ja 3 See tähendab, et igal serval peaks olema neli palli. Selle variandi puhul on ülesanne nii aeganõudev kui isegi kulukas. Alustame sellest, kui palju palle vajate. Igal küljel on kümme sfääri, nii et ikosaeedril on vaja kahtesada? Ei! Peame meeles pidama, et palju palle jagatakse. Mitu serva on ikosaeedril? Seda saab vaevaliselt välja arvutada, kuid mille jaoks on Euleri valem?

w–k+s=2

kus w, k, s on vastavalt tippude, servade ja tahkude arv. Mäletame, et w = 12, s = 20, mis tähendab, et k = 30. Meil ​​on ikosaeedril 30 serva. Saate seda teha erinevalt, sest kui kolmnurki on 20, siis on neil ainult 60 serva, kuid kaks neist on tavalised.

Arvutame, kui palju palle vajate. Igas kolmnurgas on ainult üks sisemine pall - ei meie keha ülaosas ega servas. Seega on meil kokku 20 sellist palli. Seal on 12 tippu. Igal serval on kaks mitte-tipupalli (need on serva sees, kuid mitte näo sees). Kuna servi on 30, siis on 60 marmorit, kuid kaks neist on jagatud, mis tähendab, et teil on vaja ainult 30 marmorit, seega on vaja kokku 20 + 12 + 30 = 62 marmorit. Pallid saab osta vähemalt 50 sendi eest (tavaliselt kallimad). Kui lisada liimikulu, tuleb seda välja ... palju. Hea liimimine nõuab mitu tundi vaevarikast tööd. Koos sobivad need lõõgastavaks ajaveetmiseks – soovitan näiteks teleka vaatamise asemel.

Taganemine 1. Andrzej Wajda filmisarjas Aastad, päevad mängivad kaks meest malet, "sest nad peavad kuidagi õhtusöögini aega veetma". See toimub Galicias Krakowis. Tõepoolest: ajalehed on juba loetud (siis oli neid 4 lehekülge), telekas ja telefon pole veel leiutatud, jalgpallimatše pole. Igavus lompides. Sellises olukorras mõtlesid inimesed endale meelelahutuse välja. Täna on meil need pärast kaugjuhtimispuldi vajutamist ...

Taganemine 2. 2019. aasta matemaatikaõpetajate assotsiatsiooni koosolekul demonstreeris üks Hispaania professor arvutiprogrammi, millega saab värvida tahkeid seinu mis tahes värviga. See oli natuke jube, sest nad joonistasid ainult käsi, peaaegu lõikasid keha ära. Mõtlesin endamisi: kui palju nalja saab sellisest "varjutusest"? Kõik võtab kaks minutit ja neljandaks ei mäleta me enam midagi. Vahepeal vanamoodne “näputöö” rahustab ja harib. Kes ei usu, proovigu.

Läheme tagasi XNUMX. sajandisse ja meie tegelikkuse juurde. Kui me ei soovi lõõgastust pallide vaevalise liimimise näol, siis joonistame vähemalt ikosaeedri ruudustiku, mille servades on neli kuuli. Kuidas seda teha? Lõika see õigesti joonis 6. Tähelepanelik lugeja arvab probleemi juba ära:

7i töö. Kas on võimalik loetleda pallid numbritega 0 kuni 9 nii, et kõik need numbrid oleksid sellise ikosaeedri igal küljel?

Mille eest meile makstakse?

Täna esitame endale sageli küsimuse, mis on meie tegevuse eesmärk ja "hall maksumaksja" küsib, miks ta peaks matemaatikutele selliste mõistatuste lahendamise eest maksma?

Vastus on üsna lihtne. Sellised "mõistatused", mis on iseenesest huvitavad, on "kild millestki tõsisemast". Sõjaväeparaadid on ju vaid raske teenistuse väline, suurejooneline osa. Toon vaid ühe näite, aga alustan kummalisest, kuid rahvusvaheliselt tunnustatud matemaatilisest ainest. 1852. aastal küsis üks inglise tudeng oma professorilt, kas kaarti on võimalik värvida nelja värviga nii, et naaberriike näidatakse alati eri värvides? Lubage mul lisada, et me ei pea "naabriteks" neid, kes kohtuvad ainult ühes kohas, näiteks Wyomingi ja Utah' osariigid USA-s. Professor ei teadnud... ja probleem oli oodanud lahendust üle saja aasta.

8. Ikosaeeder RECO plokkidest. Välgu helkurid näitavad, mis ühist on ikosaeedril kolmnurga ja viisnurgaga. Igas tipus koonduvad viis kolmnurka.

See juhtus ootamatul viisil. 1976. aastal kirjutas rühm Ameerika matemaatikuid selle ülesande lahendamiseks programmi (ja nad otsustasid: jah, neljast värvist piisab alati). See oli esimene tõestus matemaatilise fakti kohta, mis saadi "matemaatikamasina" abil – nagu pool sajandit tagasi (ja veelgi varem: "elektrooniline aju") arvutit nimetati.

Siin on spetsiaalselt näidatud "Euroopa kaart" (joon. 9). Need riigid, millel on ühine piir, on ühendatud. Kaardi värvimine on sama, mis selle graafiku ringide värvimine (nimetatakse graafikuks), nii et ükski ühendatud ring pole sama värvi. Liechtensteini, Belgia, Prantsusmaa ja Saksamaa pilk näitab, et kolmest värvist ei piisa. Soovi korral, Lugeja, värvi see nelja värviga.

9. Kes kellega Euroopas piirneb?

No jah, aga kas see on maksumaksja raha väärt? Nii et vaatame sama graafikut veidi erinevalt. Unustage ära, et on riigid ja piirid. Olgu ringid sümboliseerivad ühest punktist teise (näiteks P-st EST-i) saadetavaid teabepakette ja segmendid kujutavad endast võimalikke ühendusi, millest igaühel on oma ribalaius. Kas saata nii kiiresti kui võimalik?

Kõigepealt vaatame üht väga lihtsustatud, kuid samas ka väga huvitavat olukorda matemaatilisest vaatenurgast. Peame midagi saatma punktist S (= algusena) punkti M (= lõpetama), kasutades sama ribalaiusega ühendusvõrku, näiteks 1. Seda näeme joon. 10.

10. Statsyika Zdrój ja ​​Megapolise ühenduste võrgustik.

Kujutagem ette, et S-st M-sse tuleb saata umbes 89 bitti teavet. Nende sõnade autorile meeldivad probleemid rongidega, nii et ta kujutab ette, et on Stacie Zdrój juhataja, kust ta peab saatma 144 vagunit. metropoli jaama. Miks just 144? Sest nagu näeme, kasutatakse seda kogu võrgu läbilaskevõime arvutamiseks. Mahutavus on 1 igas partiis, st. üks auto ajaühiku kohta (üks infobitt, võimalik, et ka Gigabait) võib läbi sõita.

Teeme nii, et M-is kohtuksid kõik autod samal ajal. Kõik jõuavad kohale 89 ajaühikuga. Kui mul on saata väga oluline teabepakett S-st M-ni, jagan selle 144-ühikulisteks rühmadeks ja surun selle läbi nagu ülal. Matemaatika tagab, et see on kiireim. Kuidas ma teadsin, et sul on 89 vaja? Tegelikult ma arvasin, aga kui ma ei arva, siis ma pean selle välja mõtlema Kirchhoffi võrrandid (kas keegi mäletab? - need on võrrandid, mis kirjeldavad voolu liikumist). Võrgu ribalaius on 184/89, mis on ligikaudu võrdne 1,62-ga.

Rõõmu kohta

Muide, mulle meeldib number 144. Mulle meeldis selle numbriga bussiga Varssavis Lossiväljakule sõita - siis, kui selle kõrval veel restaureeritud kuningalossi ei olnud. Võib-olla teavad noored lugejad, mis on tosin. See on 12 eksemplari, kuid ainult vanemad lugejad mäletavad, et kümmekond, st. 122=144, see on nn partii. Ja sellest saavad kohe aru kõik, kes matemaatikat koolikavast veidi rohkem tunnevad joon. 10 meil on Fibonacci numbrid ja et võrgu ribalaius on lähedane "kuldsele numbrile"

Fibonacci jadas on 144 ainus arv, mis on täiuslik ruut. Sada nelikümmend neli on samuti "rõõmus number". Nii teeb India amatöörmatemaatik Dattatreya Ramachandra Caprecar aastal 1955 nimetas ta arvud, mis jaguvad nende moodustavate numbrite summaga:

Kui ta seda teaks Adam Mickiewicz, oleks ta kindlasti Dzyadysse ei kirjutanud: „Võõralt emalt; tema veri on tema vanad kangelased / Ja tema nimi on nelikümmend neli, ainult elegantsem: Ja tema nimi on sada nelikümmend neli.

Võtke meelelahutust tõsiselt

Loodan, et olen lugejaid veennud, et Sudoku mõistatused on küsimuste lõbus pool, mis väärib kindlasti tõsiselt võtmist. Ma ei oska seda teemat edasi arendada. Oh, võrgu täieliku ribalaiuse arvutamine esitatud diagrammi järgi joon. 9 võrrandisüsteemi kirjutamine võtaks kaks või enam tundi – võib-olla isegi kümneid sekundeid (!) arvutitööd.