Geomeetrilised rajad ja tihnikud

Seda artiklit kirjutades meenus mulle Jan Pietrzaki väga vana laul, mida ta laulis enne oma satiirilist tegevust Poola Rahvavabariigis kaitseventiilina tunnustatud kabarees Pod Egidą; süsteemi paradokside üle võiks ausalt naerda. Selles laulus soovitas autor sotsialistlikku poliitilist osalust, naeruvääristades neid, kes tahavad olla apoliitilised ja lülitades ajalehes raadio välja. "Parem on minna tagasi kooli lugemisse," laulis toona XNUMX-aastane Petshak irooniliselt.

Ma lähen tagasi kooli lugema. Loen uuesti (mitte esimest korda) Štšepan Jelenski (1881-1949) raamatut “Lylavati”. Väheste lugejate jaoks ütleb sõna ise midagi. See on kuulsa hindu matemaatiku Bhaskara (1114–1185) tütre nimi Akaria või targa, kes pani oma algebrateemalise raamatu selle nimega pealkirjaks. Lilavatist sai hiljem ka ise tunnustatud matemaatik ja filosoof. Teiste allikate kohaselt kirjutas ta raamatu ise.

Szczepan Jelensky andis sama pealkirja oma matemaatikaraamatule (esmatrükk, 1926). Seda raamatut võib olla isegi raske matemaatiliseks teoseks nimetada – see oli pigem mõistatuste kogum ja suures osas prantsuse allikatest ümber kirjutatud (autoriõigusi tänapäeva mõistes ei eksisteerinud). Igatahes oli see pikki aastaid ainuke populaarne Poola matemaatikaraamat – hiljem lisati sellele Jelensky teine ​​raamat Pythagorase maiustused. Nii et matemaatikahuvilistel noortel (just see, mida ma kunagi olin) polnudki millegi vahel valida ...

seevastu "Lilavati" pidi peaaegu peast teadma... Ah, olid ajad... Nende suurim pluss oli see, et ma olin siis... teismeline. Täna vaatan Lilavati haritud matemaatiku seisukohalt hoopis teistmoodi – võib-olla nagu ronijat Shpiglasova Pshelenchi raja käänakutel. Oma võlu ei kaota ei üks ega teine ​​... Talle omases stiilis isiklikus elus nn rahvuslikke ideid tunnistav Štšepan Jelenanski kirjutab eessõnas:

Rahvuslike iseärasuste kirjeldust puudutamata ütlen, et isegi üheksakümne aasta pärast pole Jelenanski sõnad matemaatikast oma aktuaalsust kaotanud. Matemaatika õpetab mõtlema. See on fakt. Kas saame õpetada teistmoodi, lihtsamalt ja kaunimalt mõtlema? Võib olla. Lihtsalt... me ikka ei saa. Selgitan oma õpilastele, kes matemaatikat teha ei taha, et see on ka nende intelligentsuse proovikivi. Kui päris lihtsat matemaatikateooriat õppida ei saa, siis... äkki on su vaimsed võimed kehvemad, kui meile mõlemale meeldiks...?

Märgid liivas

Ja siin on esimene lugu "Lylavatis" – seda lugu kirjeldas prantsuse filosoof Joseph de Maistre (1753-1821).

Avariilise laeva madrus viskasid lained tühjale kaldale, mida ta pidas asustatuks. Järsku nägi ta rannikuliival kellegi ette joonistatud jälge geomeetrilisest kujundist. Siis sai ta aru, et saar ei ole mahajäetud!

Jelensky kirjutab Mestrit tsiteerides: geomeetriline joonissee oleks olnud tumm väljend õnnetu, laevahuku kohta, juhus, kuid ta näitas talle lühidalt proportsiooni ja arvu ning see kuulutas valgustunud meest. Niipalju siis ajaloost.

Pange tähele, et meremees põhjustab sama reaktsiooni, näiteks joonistades tähe K, ... ja mis tahes muud jäljed inimese kohalolekust. Siin on geomeetria idealiseeritud.

Astronoom Camille Flammarion (1847-1925) tegi aga ettepaneku, et tsivilisatsioonid tervitavad üksteist distantsilt, kasutades geomeetriat. Ta nägi selles ainuõiget ja võimalikku suhtluskatset. Näidakem sellistele marslastele Pythagorase kolmnurki... nemad vastavad meile Thalesega, meie vastame neile Vieta mustritega, nende ring mahub kolmnurka, nii sai alguse sõprus...

Sellised kirjanikud nagu Jules Verne ja Stanislav Lem pöördusid selle idee juurde tagasi. Ja 1972. aastal paigutati geomeetriliste (ja mitte ainult) mustritega plaadid Pioneeri sondi pardale, mis läbib siiani kosmose avarusteid, praegu meist peaaegu 140 astronoomilise ühiku kaugusel (1 I on Maa keskmine kaugus Maast) . Päike, st umbes 149 miljonit km). Plaani kujundas osaliselt astronoom Frank Drake, maaväliste tsivilisatsioonide arvu vastuolulise reegli looja.

Geomeetria on hämmastav. Me kõik teame üldist seisukohta selle teaduse tekke kohta. Meie (meie inimesed) oleme just hakanud maad (ja hiljem ka maad) mõõtma kõige utilitaarsematel eesmärkidel. Kauguste määramine, sirgjoonte tõmbamine, täisnurkade märkimine ja mahtude arvutamine muutus järk-järgult hädavajalikuks. Sellest ka kogu asi geomeetria (“Maa mõõtmine”), seega kogu matemaatika ...

See selge teadusajaloo pilt hägusas meid aga mõnda aega. Sest kui matemaatikat oleks vaja ainult operatiivsetel eesmärkidel, siis me ei tegeleks lihtsate teoreemide tõestamisega. "Näete, et see peaks üldse tõsi olema," öeldakse pärast kontrollimist, et mitmes täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruutude summa võrdne hüpotenuusi ruuduga. Millest selline formalism?

Ploomipirukas peab olema maitsev, arvutiprogramm peab töötama, masin peab töötama. Kui ma lugesin tünni mahutavust kolmkümmend korda ja kõik on korras, siis miks muidu?

Vahepeal tuli iidsetele kreeklastele pähe, et tuleb leida mingid ametlikud tõendid.

Niisiis, matemaatika algab Thalesega (625–547 eKr). Eeldatakse, et just Miletos hakkas mõtlema, miks. Tarkatele inimestele ei piisa sellest, et nad on midagi näinud, milleski veendunud. Nad nägid vajadust tõestuse järele, argumentide loogilise jada eeldusest teesini.

Nad tahtsid ka rohkem. Tõenäoliselt oli Thales see, kes püüdis esmakordselt seletada füüsilisi nähtusi naturalistlikul viisil, ilma jumaliku sekkumiseta. Euroopa filosoofia sai alguse loodusfilosoofiast – sellest, mis on juba füüsika taga (sellest ka nimi: metafüüsika). Kuid Euroopa ontoloogia ja loodusfilosoofia aluse panid pythagoraslased (Pythagoras, umbes 580–500 eKr).

Ta asutas Apenniini poolsaare lõunaosas Crotones oma kooli – tänapäeval nimetaksime seda sektiks. Teadus (selle sõna praeguses tähenduses), müstika, religioon ja fantaasia on kõik omavahel tihedalt läbi põimunud. Thomas Mann esitas romaanis Doktor Faustus väga kaunilt saksa gümnaasiumi matemaatikatunnid. Maria Kuretskaja ja Witold Virpsha tõlgitud katkend kõlab järgmiselt:

Charles van Doreni huvitavast raamatust "Teadmiste ajalugu ajaloo koidikust tänapäevani" leidsin väga huvitava vaatenurga. Ühes peatükis kirjeldab autor Pythagorase koolkonna tähendust. Peatüki pealkiri jäi mulle silma. Seal on kirjas: "Matemaatika leiutamine: Pythagoreans".

Tihti arutame, kas matemaatilisi teooriaid avastatakse (nt tundmatud maad) või leiutatakse (nt masinad, mida varem polnud). Mõned loomingulised matemaatikud näevad end teadlastena, teised leiutajatena või disaineritena, harvemini loendajatena.

Kuid selle raamatu autor kirjutab matemaatika leiutamisest üldiselt.

Liialdamisest pettekujutluseni

Pärast seda pikka sissejuhatavat osa liigun edasi päris algusesse. geomeetriakirjeldamaks, kuidas liigne geomeetriale tuginemine võib teadlast eksitada. Johannes Kepler on füüsikas ja astronoomias tuntud kui taevakehade kolme liikumisseaduse avastaja. Esiteks liigub iga Päikesesüsteemi planeet ümber päikese elliptilisel orbiidil, mille ühes fookuses on päike. Teiseks tõmbab Päikeselt tõmmatud planeedi juhtiv kiir korrapäraste ajavahemike järel võrdsed väljad. Kolmandaks on planeedi ümber Päikese pöörlemise perioodi ruudu suhe tema orbiidi poolsuurtelje kuubi (s.o keskmine kaugus Päikesest) kõigi Päikesesüsteemi planeetide puhul konstantne.

Võib-olla oli see kolmas seadus – selle kehtestamiseks oli vaja palju andmeid ja arvutusi, mis ajendas Keplerit jätkama planeetide liikumise ja asukoha mustrite otsimist. Tema uue "avastuse" ajalugu on väga õpetlik. Antiikajast peale oleme imetlenud mitte ainult korrapäraseid hulktahukaid, vaid ka argumente, mis näitavad, et neid on kosmoses vaid viis. Kolmemõõtmelist hulktahukat nimetatakse regulaarseks, kui selle tahud on identsed korrapärased hulknurgad ja igal tipul on sama arv servi. Illustreerivalt peaks tavalise hulktahuka iga nurk "ühtsugune välja nägema". Kuulsaim hulktahukas on kuubik. Igaüks on näinud tavalist pahkluu.

Regulaarne tetraeedr on vähem tuntud ja koolis kutsutakse seda korrapäraseks kolmnurkseks püramiidiks. See näeb välja nagu püramiid. Ülejäänud kolm regulaarset hulktahukat on vähem tuntud. Kuubiku servade keskpunktide ühendamisel tekib oktaeeder. Dodekaeeder ja ikosaeeder näevad juba välja nagu kuulid. Valmistatud pehmest nahast, oleks neid mugav kaevata. Põhjendus, et peale viie platoonilise tahkise pole ühtegi regulaarset hulktahukat, on väga hea. Esiteks mõistame, et kui keha on korrapärane, siis peab igas tipus koonduma sama arv (olgu q) ühesuguseid korrapäraseid hulknurki, olgu need p-nurgad. Nüüd peame meeles pidama, mis on tavalise hulknurga nurk. Kui keegi kooliajast ei mäleta, tuletame meelde, kuidas leida õige muster. Tegime nurgataguse reisi. Igas tipus pöörame läbi sama nurga a. Kui me läheme ümber hulknurga ja pöördume tagasi alguspunkti, oleme teinud p selliseid pöördeid ja kokku oleme pööranud 360 kraadi.

Kuid α on selle nurga 180 kraadi täiendus, mida me tahame arvutada, ja seetõttu on see nii

Oleme leidnud tavalise hulknurga nurga (matemaatik ütleks: nurga mõõdud) valemi. Kontrollime: kolmnurgas p = 3 pole a-d

Nagu nii. Kui p = 4 (ruut), siis

kraadid on ka head.

Mida me viisnurga eest saame? Mis juhtub siis, kui on q hulknurki, millest igal p on samad nurgad

 kraadid, mis langevad ühes tipus? Kui see oleks tasapinnal, tekiks nurk

kraadi ja ei saa olla üle 360 ​​kraadi – sest siis kattuvad hulknurgad.

Kuna need hulknurgad aga ruumis kohtuvad, peab nurk olema täisnurgast väiksem.

Ja siin on ebavõrdsus, millest see kõik tuleneb:

Jagage see 180-ga, korrutage mõlemad osad p-ga, järjesta (p-2) (q-2) < 4. Mis järgneb? Olgem teadlikud, et p ja q peavad olema naturaalarvud ja et p > 2 (miks? Ja mis on p?) ja ka q > 2. Kahe naturaalarvu korrutise tegemiseks vähem kui 4 pole palju võimalusi. Loetlen need kõik tabelis 1.

Ma ei postita jooniseid, kõik näevad neid kujundeid Internetis... Internetis... Ma ei keeldu lüürilisest kõrvalepõikest - võib-olla on see noortele lugejatele huvitav. 1970. aastal esinesin seminaril. Teema oli raske. Mul oli vähe aega valmistuda, istusin õhtuti. Põhiartikkel oli kirjutuskaitstud. Koht oli hubane, töise õhkkonnaga, noh, kell seitse läks kinni. Siis pakkus pruut (praegu minu naine) ise, et kirjutab mulle kogu artikli ümber: kümmekond prinditud lehekülge. Kopeerisin ära (ei, mitte sulepliiatsiga, meil olid isegi pastakad), loeng õnnestus. Täna püüdsin leida seda väljaannet, mis on juba vana. Mäletan ainult autori nime... Otsingud Internetis kestsid kaua... tervelt viisteist minutit. Mõtlen sellele muigamise ja veidi põhjendamatu kahetsusega.

Läheme tagasi Keplera ja geomeetria. Ilmselt ennustas Platon viienda regulaarvormi olemasolu, sest tal puudus midagi ühendavat, kogu maailma hõlmavat. Võib-olla sellepärast käskis ta ühel õpilasel (Theajtet) teda otsida. Nagu oli, nii oli, mille alusel dodekaeedr avastati. Me nimetame seda Platoni hoiakut panteismiks. Kõik teadlased kuni Newtonini alistusid sellele suuremal või vähemal määral. Alates ülimalt ratsionaalsest XVIII sajandist on selle mõju drastiliselt vähenenud, kuigi me ei tohiks häbeneda seda, et me kõik sellele ühel või teisel viisil alistume.

Kepleri päikesesüsteemi ehitamise kontseptsioonis oli kõik õige, katseandmed langesid teooriaga kokku, teooria oli loogiliselt sidus, väga ilus ... aga täiesti vale. Tema ajal oli teada vaid kuus planeeti: Merkuur, Veenus, Maa, Marss, Jupiter ja Saturn. Miks on ainult kuus planeeti? küsis Kepler. Ja milline seaduspärasus määrab nende kauguse Päikesest? Ta eeldas, et kõik on seotud, see geomeetria ja kosmogoonia on üksteisega tihedalt seotud. Vanade kreeklaste kirjutistest teadis ta, et korrapäraseid hulktahukaid on vaid viis. Ta nägi, et kuue orbiidi vahel oli viis tühimikku. Nii et võib-olla vastab igaüks neist vabadest ruumidest mõnele tavalisele hulktahukale?

Pärast mitmeaastast vaatlust ja teoreetilist tööd lõi ta järgmise teooria, mille abil arvutas üsna täpselt välja orbiitide mõõtmed, mille ta esitas 1596. aastal ilmunud raamatus "Mysterium Cosmographicum": Kujutage ette hiiglaslikku kera, mille läbimõõt on Merkuuri orbiidi läbimõõt tema iga-aastasel liikumisel ümber päikese. Kujutage siis ette, et sellel sfääril on korrapärane oktaeedr, sellel kera, sellel ikosaeeder, sellel jälle kera, sellel dodekaeeder, sellel teine ​​kera, sellel tetraeedr, siis jälle kera, kuup ja lõpuks kirjeldatakse sellel kuubil palli.

Kepler jõudis järeldusele, et nende järjestikuste sfääride läbimõõt on teiste planeetide orbiitide läbimõõt: Merkuuri, Veenuse, Maa, Marsi, Jupiteri ja Saturni. Teooria tundus olevat väga täpne. Kahjuks langes see kokku katseandmetega. Ja mis oleks parem tõend matemaatilise teooria õigsuse kohta kui selle vastavus katseandmetele või vaatlusandmetele, eriti "taevast võetud"? Võtan need arvutused kokku tabelis 2. Mida siis Kepler tegi? Üritasin ja proovisin, kuni see õnnestus ehk siis, kui konfiguratsioon (sfääride järjekord) ja sellest tulenevad arvutused kattusid vaatlusandmetega. Siin on tänapäevased Kepleri arvud ja arvutused:

Võib alistuda teooria vaimustusele ja arvata, et taeva mõõtmised on ebatäpsed, mitte töökoja vaikuses tehtud arvutused. Kahjuks teame täna, et planeete on vähemalt üheksa ja kõik tulemuste kokkulangevused on lihtsalt juhused. Kahju. See oli nii ilus...