Lem, Tokarczuk, Krakov, matemaatika

3.-7 toimus Krakowis Poola Matemaatika Seltsi juubelikongress. Aastapäev, sest seltsi asutamisest sada aastat. Galiitsias eksisteeris see 2019. aastatest (ilma omadussõnata, et keisri FJ1 poola-liberalismil olid piirid), kuid üleriigilise organisatsioonina tegutses alles 1919. aastast. Suured edusammud Poola matemaatikas pärinevad 1919. aastatest 1939-XNUMX. XNUMX Lvivi Jan Casimir ülikoolis, kuid konvent ei saanud seal aset leida – ja see pole ka parim idee.

Kohtumine oli väga pidulik, täis kaassündmusi (sh Jacek Wojcicki esinemine Niepolomice lossis). Pealoenguid pidas 28 esinejat. Need olid poola keeles, sest kutsutud külalised olid poolakad – mitte tingimata kodakondsuse mõttes, vaid end poolakatena tunnustades. Ah jaa, ainult kolmteist õppejõudu tulid Poola teadusasutustest, ülejäänud viisteist USA-st (7), Prantsusmaalt (4), Inglismaalt (2), Saksamaalt (1) ja Kanadast (1). Noh, see on jalgpalliliigades tuntud nähtus.

Parimad esinevad pidevalt välismaal. See on natuke kurb, aga vabadus on vabadus. Mitmed Poola matemaatikud on teinud välismaal karjääri, mis on Poolas kättesaamatu. Raha mängib siin teisejärgulist rolli, aga ma ei taha sellistel teemadel kirjutada. Võib-olla ainult kaks kommentaari.

Venemaal ja enne seda Nõukogude Liidus oli ja on see kõige teadlikumal tasemel ... ja millegipärast ei taha keegi sinna emigreeruda. Saksamaal kandideerib omakorda kümmekond kandidaati mis tahes ülikooli professuuri kohale (Kolleegid Konstanzi ülikoolist ütlesid, et neil oli aastaga 120 avaldust, millest 50 olid väga head ja 20 olid suurepärased).

Mõned juubelikongressi loengud on kokkuvõtlikud meie igakuises ajakirjas. Pealkirjad nagu "Hõredate graafikute ja nende rakenduste piirid" või "Alamruumide lineaarne struktuur ja geomeetria ja faktorruumide mõõtmed suuremõõtmeliste normaliseeritud ruumide jaoks" ei ütle tavalugejale midagi. Teise teema tutvustas mu sõber esimestelt kursustelt, Nicole Tomchak.

Mõni aasta tagasi nimetati ta selles loengus esitletud saavutuse eest. Fieldsi medal on samaväärne matemaatikute jaoks. Seni on selle auhinna saanud vaid üks naine. Tähelepanu väärib ka loeng Anna Marcinyak-Chohra (Heidelbergi Ülikool) "Mehaaniliste matemaatiliste mudelite roll meditsiinis leukeemia modelleerimise näitel".

astus meditsiini. Varssavi ülikoolis töötas rühm, mida juhtis prof. Jerzy Tyurin.

Loengu pealkiri jääb Lugejatele arusaamatuks Veslava Niziol (z prestiżowej Kõrgem Pedagoogiline Kool) “- Hodge'i adic teooria". Sellegipoolest olen otsustanud siin arutada just seda loengut.

Geomeetria - adic maailmad

See algab lihtsatest pisiasjadest. Kas mäletate, Lugeja, kirjaliku vahetuse meetodit? Kindlasti. Mõelge tagasi põhikooli muretutele aastatele. Jagage 125051 23-ga (see on vasakpoolne toiming). Kas tead, et see võib olla erinev (tegevus paremal)?

See uus meetod on huvitav. Ma lähen lõpust. Peame jagama 125051 23-ga. Millega korrutada 23, et viimane number oleks 1? Otsin mälust ja meil on :=7. Tulemuse viimane number on 7. Korrutage, lahutage, saame 489. Kuidas korrutada 23, et saada 9? Muidugi 3 võrra. Jõuame selleni, et määrame kõik tulemuse numbrid. Meie arvates on see ebapraktiline ja keerulisem kui meie tavaline meetod – aga see on harjutamise küsimus!

Asjad võtavad teistsuguse pöörde, kui vaprat meest jagaja täielikult ei lahuta. Teeme jagamise ja vaatame, mis juhtub.

Vasakul on tüüpiline koolirada. Paremal on "meie kummalised".

Mõlemat tulemust saame kontrollida korrutamisega. Me mõistame esimest: üks kolmandik arvust 4675 on tuhat viissada viiskümmend kaheksa ja perioodi kolm. Teisel pole mõtet: mis on see arv, mille ees on lõpmatu arv kuueid ja siis 8225?

Jätame hetkeks tähenduse küsimuse. Mängime. Seega jagame 1 3-ga ja seejärel 1 7-ga, mis on üks kolmandik ja üks seitsmendik. Meil on lihtne hankida:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

See viimane rida tähendab: plokk 285714 kordub alguses lõputult ja lõpuks on neid kolm. Neile, kes ei usu, siin on test:

Nüüd lisame murrud:

Seejärel liidame saadud kummalised numbrid ja saame (kontrollime) sama kummalise numbri.

......95238095238095238095238010

Saame kontrollida, kas see on võrdne

Sisu on veel näha, kuid aritmeetika on õige.

Üks näide veel.

Tavalisel, ehkki suurel numbril 40081787109376 on huvitav omadus: selle väljak lõpeb samuti numbriga 40081787109376. number x40081787109376, mis on ( x40081787109376)² lõpeb ka numbriga x40081787109376.

Näpunäide. Meil on 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, seega on järgmine number kolmest kümneni täiend, mis on 7. Kontrollime: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Küsimus, miks see nii on, on keeruline. See on lihtsam: leidke sarnased lõpud numbritele, mis lõppevad numbriga 5. Jätkates lõputult järgmiste numbrite leidmise protsessi, jõuame selliste "numbriteni", ²=²= (ja ükski neist arvudest ei ole võrdne nulliga ega ühega).

saame hästi aru. Mida kaugemal pärast koma, seda vähem oluline on arv. Tehnilistes arvutustes on oluline esimene koht pärast koma ja ka teine, kuid paljudel juhtudel võib eeldada, et ringi ümbermõõdu ja läbimõõdu suhe on 3,14. Lennutööstusesse tuleb muidugi rohkem numbreid lisada, aga ma ei usu, et üle kümne tuleb.

Nimi ilmus artikli pealkirjas Stanislav Lem (1921–2006), samuti meie uus Nobeli preemia laureaat. Daam Olga Tokaršuk Mainisin seda ainult sellepärast karjuv ülekohusFakt on see, et Stanislav Lem ei saanud Nobeli kirjandusauhinda. Aga see pole meie nurgas.

Lem nägi sageli tulevikku ette. Ta mõtles, mis juhtub, kui nad saavad inimestest sõltumatuks. Kui palju sellel teemal filme on viimasel ajal ilmunud! Lem ennustas ja kirjeldas optilist lugejat ja tuleviku farmakoloogiat üsna täpselt.

Ta tundis matemaatikat, kuigi mõnikord käsitles ta seda kui ornamenti, hoolimata arvutuste õigsusest. Näiteks loos "Proovimine" läheb Pirksi piloot orbiidile B68 tiirlemisperioodiga 4 tundi ja 29 minutit ning juhis on 4 tundi ja 26 minutit. Ta mäletab, et nad arvutasid 0,3 protsendilise veaga. Ta annab andmed Kalkulaatorisse ja kalkulaator vastab, et kõik on korras... No ei. Kolm kümnendikku protsendist 266 minutist on vähem kui minut. Aga kas see viga muudab midagi? Võib-olla oli see meelega?

Miks ma sellest kirjutan? Paljud matemaatikud on tõstatanud ka selle küsimuse: kujutage ette kogukonda. Neil pole meie inimmõistust. Meie jaoks on 1609,12134 ja 1609,23245 väga lähedased numbrid – head lähendused inglise miilile. Arvutid võivad aga pidada numbreid 468146123456123456 ja 9999999123456123456 lähedaseks. Neil on samad kaheteistkümnekohalised lõpud.

Mida tavalisemad numbrid lõpus, seda lähedasemad on numbrid. Ja see viib nn distantsile - adic. Olgu p hetkeks võrdne 10-ga; miks just “mõneks ajaks”, ma selgitan ... nüüd. Eespool kirjutatud numbrite 10 punkti kaugus on 

või miljondik – sest nende numbrite lõpus on kuus ühist numbrit. Kõik täisarvud erinevad nullist ühe või vähema võrra. Ma isegi ei kirjuta malli, sest see pole oluline. Mida rohkem identseid numbreid lõpus, seda lähedasemad on numbrid (inimese puhul, vastupidi, arvestatakse esialgseid numbreid). On oluline, et p oleks algarv.

Siis - neile meeldivad nullid ja ühed, nii et nad näevad kõike nendes mustrites: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

Stanisław Lem palkab romaanis Glos Pana teadlased, et nad prooviksid lugeda hauatagusest elust saadetud sõnumit, mis on loomulikult kodeeritud null-üks. Kas keegi kirjutab meile? Lem väidab, et "igasugust sõnumit saab lugeda, kui see on sõnum, et keegi tahtis meile midagi öelda." Aga kas on? Jätan lugejatele selle dilemma.

Me elame XNUMXD-ruumis R³. Kiri R tuletab meelde, et teljed koosnevad reaalarvudest, st täisarvudest, negatiivsetest ja positiivsetest, nullist, ratsionaalsetest (st murdudest) ja irratsionaalarvudest, millega lugejad koolis kohtusid (), ning arvudest, mida tuntakse transtsendentaalsete arvudena ja millele algebras ligi ei pääse (see on arv π , mis on juba rohkem kui kaks tuhat aastat ühendanud ringi läbimõõtu oma ümbermõõduga).

Mis siis, kui meie ruumi teljed oleksid -adic numbrid?

Jerzy Mioduszowski, Sileesia ülikooli matemaatik, väidab, et see võib nii olla ja isegi nii võib olla. Me võime (ütleb Jerzy Mioduszewski) hõivata selliste olenditega ruumis sama koha, sekkumata ja üksteist nägemata.

Niisiis, meil on kogu "nende" maailma geomeetria uurida. Vaevalt, et “nad” meist samamoodi mõtlevad ja ka meie geomeetriat uurivad, sest meie oma on kõigi “nende” maailmade piirjuht. "Need", see tähendab kõik põrgulikud maailmad, kus nad on algarvud. Eelkõige = 2 ja see põnev null-ühe maailm ...

Siin võib artikli lugeja saada vihaseks ja isegi vihaseks. "Kas see on selline jama, mida matemaatikud teevad?" Nad fantaseerivad peale õhtusööki viina joomisest ja minu (=maksumaksja) raha kasutamisest. Ja laiali nad nelja tuule poole, las lähevad sovhoosidesse ... oi, pole enam sovhoose!

Lõdvestu. neil oli alati kalduvus selliste naljade järele. Mainin lihtsalt võileivateoreemi: kui mul on juustu ja singi võileib, võin selle lõigata üheks tükiks, et poolitada kukkel, sink ja juust. See on praktikas kasutu. Asi on selles, et see on lihtsalt funktsionaalanalüüsi huvitava üldteoreemi mänguline rakendus.

Kui tõsine on -adic arvude ja nendega seotud geomeetriaga tegelemine? Tuletan lugejale meelde, et ratsionaalsed arvud (lihtsustatult: murrud) asuvad joonel tihedalt, kuid ei täida seda tihedalt.

Irratsionaalsed arvud elavad "aukudes". Neid on palju, lõpmatult palju, kuid võib ka öelda, et nende lõpmatus on suurem kui kõige lihtsamatel, mille puhul loeme: üks, kaks, kolm, neli ... ja nii kuni ∞-ni. See on meie inimlik "aukude" täitmine. Oleme selle vaimse struktuuri pärinud Pythagoraslased. 

Kuid matemaatiku jaoks on huvitav ja oluline see, et neid auke ei saa "täita" irratsionaalsete ja p-adic arvudega (kõikide algarvude p puhul). Nende lugejate jaoks, kes sellest aru saavad (ja seda õpetati igas keskkoolis kolmkümmend aastat tagasi), on mõte selles, et iga järjestus, mis rahuldab Cauchy seisund, koondub.

Ruumi, milles see on tõsi, nimetatakse täielikuks ("midagi pole puudu"). Jätan meelde numbri 547721051611007740081787109376.

Jada 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 ja nii edasi koondub teatud piirini, mis on ligikaudu 0,5477210516110077400 81787109376.

Kuid 10-adic distantsi seisukohalt koondub ka numbrite jada 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 ja nii edasi "veidrale" numbrile ... 547721051 611007740081787109376.

Kuid isegi see ei pruugi olla piisav põhjus teadlastele riigi raha andmiseks. Üldiselt kaitseme me (matemaatikuid) end väitega, et on võimatu ennustada, milleks meie uuringud kasulikud on. On peaaegu kindel, et igaühest on kasu ja et ainult laial rindel tegutsemisel on eduvõimalus.

Üks suurimaid leiutisi, röntgeniaparaat, loodi pärast radioaktiivsuse juhuslikku avastamist Bekkerela. Kui mitte seda juhtumit, oleks paljude aastatepikkune uurimistöö ilmselt kasutu olnud. "Otsime võimalust inimkehast röntgenpildi tegemiseks."

Lõpuks, kõige tähtsam. Kõik nõustuvad, et võrrandite lahendamise oskus mängib rolli. Ja siin on meie kummalised numbrid hästi kaitstud. Vastav teoreem (Ma vihkan minkowskit) ütleb, et mõnda võrrandit saab ratsionaalarvudes lahendada siis ja ainult siis, kui neil on igas -adic kehas reaalsed juured ja juured.

Enam-vähem seda lähenemist on esitletud Andrew Wiles, mis lahendas viimase kolmesaja aasta kuulsaima matemaatilise võrrandi – soovitan lugejatel see otsingumootorisse sisestada "Fermat'i viimane teoreem".