vastupidine võlu

"Vastandite võlust" räägitakse palju ja mitte ainult matemaatikas. Pidage meeles, et vastandarvud on need, mis erinevad ainult märgi poolest: pluss 7 ja miinus 7. Vastandarvude summa on null. Kuid meie (st matemaatikute) jaoks on pöördarvud huvitavamad. Kui arvude korrutis on võrdne 1-ga, on need arvud üksteisega pöördvõrdelised. Igal arvul on oma vastand, igal nullist erineval arvul on oma pöördväärtus. Retsiprooks on seeme.

Inversioon toimub alati, kui kaks suurust on omavahel seotud nii, et kui üks suureneb, siis teine ​​väheneb vastava kiirusega. "Asjakohane" tähendab, et nende koguste korrutis ei muutu. Koolist mäletame: see on pöördvõrdeline proportsioon. Kui tahan jõuda sihtkohta kaks korda kiiremini (st lühendada aega poole võrra), pean kiirust kahekordistama. Kui gaasiga suletud anuma mahtu vähendada n korda, siis selle rõhk suureneb n korda.

Alghariduses eristame hoolikalt diferentsiaalset ja suhtelist võrdlust. "Kui palju rohkem"? - "Mitu korda rohkem?"

Siin on mõned koolitegevused:

1i töö. Kahest positiivsest väärtusest on esimene 5 korda suurem kui teine ​​ja samal ajal 5 korda suurem kui esimene. Mis on mõõdud?

2i töö. Kui üks arv on 3 suurem kui teine ​​ja teine ​​​​on 2 suurem kui kolmas, siis kui palju on esimene arv suurem kui kolmas? Kui esimene positiivne arv on kaks korda suurem kui teine ​​ja esimene number kolm korda kolmas, siis mitu korda on esimene arv suurem kui kolmas?

3i töö. Ülesandes 2 on lubatud ainult naturaalarvud. Kas selline seal kirjeldatud korraldus on võimalik?

4i töö. Kahest positiivsest väärtusest on esimene 5 korda suurem ja teine ​​5 korda suurem. Kas see on võimalik?

Mõiste "keskmine" või "keskmine" tundub väga lihtne. Kui sõitsin esmaspäeval rattaga 55 km, teisipäeval 45 km ja kolmapäeval 80 km, siis keskmiselt 60 km päevas. Oleme nende arvutustega igati nõus, kuigi need on veidi kummalised, sest ma pole ühe päevaga 60 km sõitnud. Sama lihtsalt võtame vastu inimese aktsiad: kui kuue päeva jooksul külastab restorani kakssada inimest, siis keskmine päevamäär on 33 ja kolmandik inimest. HM!

Probleeme on ainult keskmise suurusega. Mulle meeldib jalgrattaga sõita. Seega kasutasin ära reisibüroo "Lähme kaasa" pakkumist - nad toimetavad pagasi hotelli, kus klient sõidab puhkuse eesmärgil jalgrattaga. Reedel sõitsin neli tundi: kaks esimest kiirusega 24 km tunnis. Siis väsisin nii ära, et kahel järgmisel ainult 16 tunnis. Mis oli minu keskmine kiirus? Muidugi (24+16)/2=20km=20km/h.

Laupäeval aga jäeti pagas hotelli ning käisin vaatamas 24 km kaugusel asuvaid lossi varemeid ja olles need ära vaadanud, pöördusin tagasi. Sõitsin tund aega ühes suunas, tagasi tulin aeglasemalt, kiirusega 16 km tunnis. Kui suur oli minu keskmine kiirus marsruudil hotell-loss-hotell? 20 km tunnis? Muidugi mitte. Sõitsin ju kokku 48 km ja tund (“sinna”) ja poolteist tundi tagasi. 48 km kahe ja poole tunniga, s.o. tund 48/2,5=192/10=19,2 km! Antud olukorras ei ole keskmine kiirus mitte aritmeetiline keskmine, vaid antud väärtuste harmooniline:

ja seda kahekorruselist valemit võib lugeda järgmiselt: positiivsete arvude harmooniline keskmine on nende pöördarvu aritmeetilise keskmise pöördväärtus. Pöördarvude summa pöördväärtus esineb paljudes kooliülesannete koorides: kui üks töötaja kaevab tundi, teine ​​- b tundi, siis koos töötades kaevavad nad õigel ajal. veebassein (üks tunnis, teine ​​kell b). Kui ühel takistil on R1 ja teisel R2, siis on neil paralleeltakistus. 

Kui üks arvuti suudab probleemi lahendada sekunditega, teine ​​arvuti b sekundiga, siis kui nad töötavad koos...

Lõpeta! Siin analoogia lõppebki, sest kõik oleneb võrgu kiirusest: ühenduste efektiivsusest. Töötajad võivad ka üksteist takistada või aidata. Kui üks mees suudab kaevu kaevata kaheksa tunniga, kas kaheksakümmend töölist saavad sellega hakkama 1/10 tunniga (ehk 6 minutiga)? Kui kuus pakikandjat viivad klaveri 6 minutiga esimesele korrusele, siis kui kaua kulub ühel neist klaveri kuuekümnendale korrusele toimetamine? Selliste ülesannete absurdsus toob meelde kogu matemaatika piiratud rakendatavuse probleemidele "elust".

Võimsa müüja kohta 

Kaalu enam ei kasutata. Tuletame meelde, et selliste kaalude ühele kausile pandi raskus ja teisele asetati kaalutav kaup ning kui kaal oli tasakaalus, siis kaalus kaup sama palju kui kaal. Loomulikult peavad raskuskoormuse mõlemad haarad olema ühepikkused, muidu on kaalumine vale.

Oh õigus. Kujutage ette müüjat, kelle kaal on ebavõrdse võimendusega. Küll aga tahab ta klientidega aus olla ja kaalub kaupa kahes partiis. Esiteks paneb ta ühele pannile raskuse, teisele aga vastava koguse kaupa - et kaal oleks tasakaalus. Seejärel kaalub ta teise "poole" kaubast vastupidises järjekorras ehk paneb raskuse teisele kausile ja kauba esimesele. Kuna käed on ebavõrdsed, pole "pooled" kunagi võrdsed. Ja müüja südametunnistus on puhas ja ostjad kiidavad tema ausust: "Mis ma siit eemaldasin, selle lisasin siis."

Vaatame aga lähemalt müüja käitumist, kes tahab ebakindlast kaalust hoolimata aus olla. Olgu kaalu õlgadel pikkused a ja b. Kui üks kaussidest on koormatud kilogrammi kaaluga ja teine ​​x kaupa, siis on kaalud tasakaalus, kui ax = b esimest korda ja bx = a teist korda. Niisiis on kauba esimene osa võrdne b / kilogrammiga, teine ​​​​osa on a / b. Hea kaal on a = b, seega saab ostja 2 kg kaupa. Vaatame, mis juhtub, kui a ≠ b. Siis a – b ≠ 0 ja redutseeritud korrutusvalemist saame

Jõudsime ootamatu tulemuseni: näiliselt õiglane meetod mõõtmise "keskmistamiseks" töötab sel juhul kasuks ostjale, kes saab rohkem kaupa.

5-i määramine. (Tähtis, mitte mingil juhul matemaatikas!). Sääsk kaalub 2,5 milligrammi ja elevant viis tonni (see on üsna õige teave). Arvutage sääskede ja elevantide masside (kaalude) aritmeetiline keskmine, geomeetriline keskmine ja harmooniline keskmine. Kontrollige arvutusi ja vaadake, kas neil on peale aritmeetiliste ülesannete mõtet. Vaatame teisi näiteid matemaatiliste arvutuste kohta, millel pole "päriselus" mõtet. Näpunäide: oleme selles artiklis juba vaadanud ühte näidet. Kas see tähendab, et anonüümsel õpilasel, kelle arvamuse ma internetist leidsin, oli õigus: “Matemaatika lollitab inimesi numbritega”?

Jah, olen nõus, et matemaatika suursugususes saab inimesi “lollida” – iga teine ​​šampoonireklaam ütleb, et see suurendab kohevust mingi protsendi võrra. Kas otsime muid näiteid kasulikest igapäevastest tööriistadest, mida saab kuritegelikuks tegevuseks kasutada?

Grammid!

Selle lõigu pealkiri on tegusõna (mitmuse esimene isik), mitte nimisõna (kilogrammi tuhandik mitmuse nimetav). Harmoonia eeldab korda ja muusikat. Vanade kreeklaste jaoks oli muusika teadusharu – tuleb tunnistada, et kui nii öelda, siis kanname sõna "teadus" praeguse tähenduse meie ajastu eelsesse aega. Pythagoras elas XNUMX. sajandil eKr. Ta ei teadnud mitte ainult arvutit, mobiiltelefoni ega e-posti, vaid ka ei teadnud, kes on Robert Lewandowski, Mieszko I, Karl Suur ja Cicero. Ta ei teadnud ei araabia ega isegi rooma numbreid (need tulid kasutusele umbes XNUMX. sajandil eKr), ta ei teadnud, mis on Puunia sõjad ... Aga ta teadis muusikat ...

Ta teadis, et keelpillidel on vibratsioonikoefitsiendid pöördvõrdelised keelpillide vibreerivate osade pikkusega. Ta teadis, ta teadis, ta lihtsalt ei osanud seda väljendada nii, nagu me seda täna teeme.

Kahe oktaavi moodustava keelvõnke sagedused on vahekorras 1:2, see tähendab, et kõrgema noodi sagedus on kaks korda suurem kui alumise noodi sagedus. Õige vibratsioonisuhe kvint on 2:3, neljas 3:4, puhas suur terts 4:5, väiketerts 5:6. Need on meeldivad konsonantintervallid. Siis on kaks neutraalset, vibratsioonisuhtega 6:7 ja 7:8, seejärel dissonantsed - suur toon (8:9), väike toon (9:10). Need murrud (suhted) on nagu jada järjestikuste liikmete suhted, mida matemaatikud (sellel põhjusel) nimetavad harmoonilisteks jadateks:

on teoreetiliselt lõpmatu summa. Oktavi võnkumiste suhteks võib kirjutada 2:4 ja nende vahele panna kvint: 2:3:4 ehk siis jagame oktaavi kvendiks ja neljandikuks. Seda nimetatakse matemaatikas harmooniliste segmentide jagamiseks:

Riis. 1. Muusikule: oktaavi AB jagamine viiendaks AC-ks.Matemaatikule: harmooniline segmenteerimine

Mida ma pean silmas, kui räägin (ülal) teoreetiliselt lõpmatust summast, näiteks harmoonilisest jadast? Selgub, et selline summa võib olla suvaline suur arv, peaasi, et liidame kaua. Koostisaineid jääb järjest vähemaks, aga neid tuleb aina juurde. Mis valitseb? Siin siseneme matemaatilise analüüsi valdkonda. Selgub, et koostisosad on otsas, kuid mitte väga kiiresti. Näitan, et võttes piisavalt koostisosi, võin kokku võtta:

meelevaldselt suur. Võtame "näiteks" n = 1024. Rühmitame sõnad joonisel näidatud viisil:

Igas sulus on iga sõna suurem kui eelmine, välja arvatud muidugi viimane, mis on võrdne iseendaga. Järgmistes sulgudes on meil 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ja 512 komponenti; igas sulgudes oleva summa väärtus on suurem kui ½. Kõik see on rohkem kui 5½. Täpsemad arvutused näitaksid, et see summa on ligikaudu 7,50918. Mitte palju, aga alati ja on näha, et kui võtan n suvalise suure, võin ma ületada mis tahes arvu. See on uskumatult aeglane (näiteks oleme ainuüksi koostisosadega esikümnes), kuid lõpmatu kasv on matemaatikuid alati paelunud.

Reis lõpmatusse harmooniliste seeriatega

Siin on mõistatus päris tõsisele matemaatikale. Meil on piiramatu hulk ristkülikukujulisi plokke (mis ma saan öelda, ristkülikukujulisi!) mõõtmetega, näiteks 4 × 2 × 1. Vaatleme süsteemi, mis koosneb mitmest joon. 2 - neli) plokki, mis on paigutatud nii, et esimene on ½ pikkusest kaldu, teine ​​ülalt ¼ ja nii edasi, kolmas ühe kuuendiku võrra. Noh, võib-olla, et see oleks tõesti stabiilne, kallutame esimest tellist veidi vähem. See pole arvutuste jaoks oluline.

Riis. 2. Raskuskeskme määramine

Samuti on lihtne aru saada, et kuna kahest esimesest plokist koosneval kujundil (ülevalt lugedes) on punktis B sümmeetriakese, siis B on raskuskese. Määratleme geomeetriliselt kolmest ülemisest plokist koosneva süsteemi raskuskese. Siin piisab väga lihtsast argumendist. Jagame kolmest plokist koosneva kompositsiooni mõtteliselt kaheks ülemiseks ja kolmandaks alumiseks. See kese peab asuma kahe osa raskuskeskmeid ühendaval lõigul. Mis hetkel selles episoodis?

Määramiseks on kaks võimalust. Esimeses kasutame tähelepanekut, et see kese peab asuma kolmest plokist koosneva püramiidi keskel, st sirgjoonel, mis ristub teise, keskmise plokiga. Teisel viisil saame aru, et kuna kahe ülemise ploki kogumass on kaks korda suurem kui üksiku ploki nr 3 (ülemine) mass, peab selle lõigu raskuskese olema B-le kaks korda lähemal kui keskpunktile. Kolmanda ploki S. Samamoodi leiame järgmise punkti: ühendame kolme ploki leitud keskpunkti neljanda ploki keskpunktiga S. Kogu süsteemi kese asub kõrgusel 2 ja punktis, mis jagab lõigu 1–3-ga (st ¾ selle pikkusest).

Arvutused, mida me veidi edasi teeme, viivad joonisel fig. joonis 3. Järjestikused raskuskeskmed eemaldatakse alumise ploki paremast servast järgmiselt:

Seega on püramiidi raskuskeskme projektsioon alati aluse sees. Torn ei kuku ümber. Nüüd vaatame joon. 3 ja korraks võtame aluseks ülevalt viienda ploki (erksama värviga märgistatud). Üles kallutatud:

seega on selle vasak serv 1 võrra kaugemal kui aluse parem serv. Siin on järgmine kiiks:

Mis on suurim kiiks? Me juba teame! Suurimat pole olemas! Võttes isegi kõige väiksemaid plokke, saate ühe kilomeetri pikkuse üleulatuse - kahjuks ainult matemaatiliselt: kogu Maast ei piisaks nii paljude plokkide ehitamiseks!

Riis. 3. Lisage rohkem plokke

Nüüd arvutused, mille me eespool jätsime. Arvutame kõik vahemaad "horisontaalselt" x-teljel, sest see on kõik. Punkt A (esimese ploki raskuskese) on 1/2 paremast servast. Punkt B (kahe ploki süsteemi keskpunkt) on 1/4 kaugusel teise ploki paremast servast. Olgu alguspunktiks teise ploki lõpp (nüüd liigume edasi kolmandasse). Näiteks kus on üksiku ploki nr 3 raskuskese? Seetõttu on pool selle ploki pikkusest meie võrdluspunktist 1/2 + 1/4 = 3/4. Kus on punkt C? Kahes kolmandikus lõigust 3/4 ja 1/4 vahel, st eelnevas punktis, muudame võrdluspunkti kolmanda ploki parempoolseks servaks. Kolmeplokilise süsteemi raskuskese eemaldatakse nüüd uuest võrdluspunktist jne. Raskuskese C_n n-st plokist koosnev torn on 1/2n kaugusel hetkelisest võrdluspunktist, mis on alusploki parem serv, st n-s plokk ülevalt.

Kuna pöördarvude jada lahkneb, võime saada mis tahes suure variatsiooni. Kas seda saaks ka reaalselt rakendada? See on nagu lõputu telliskivitorn – varem või hiljem kukub see oma raskuse all kokku. Meie skeemis tähendab minimaalne ebatäpsus plokkide paigutuses (ja seeriate osasummade aeglane kasv), et me ei jõua kuigi kaugele.