Võrrandid, koodid, šifrid, matemaatika ja luule

Michal Shurek ütleb enda kohta: “Ma sündisin 1946. aastal. Lõpetasin Varssavi ülikooli 1968. aastal ja sellest ajast alates olen töötanud matemaatika-, informaatika- ja mehaanikateaduskonnas. Teaduslik eriala: algebraline geomeetria. Hiljuti tegelesin vektorkimpudega. Mis on vektorkiir? Niisiis, vektorid tuleb niidiga tihedalt siduda ja meil on juba hunnik. Minu füüsikust sõber Anthony Sim pani mind liituma Noore Tehnikuga (ta tunnistab, et peaks minu tasudelt litsentsitasusid saama). Kirjutasin paar artiklit ja siis jäin ning alates 1978. aastast saad iga kuu lugeda, mida ma matemaatikast arvan. Armastan mägesid ja hoolimata ülekaalust püüan kõndida. Arvan, et õpetajad on kõige tähtsamad. Ma hoiaksin poliitikuid, olenemata nende valikutest, rangelt valvatud alal, et nad ei saaks põgeneda. Sööda üks kord päevas. Mulle meeldib Tulekust pärit beagle.

Võrrand on matemaatiku jaoks nagu šifr. Võrrandite lahendamine, matemaatika kvintessents, on šifriteksti lugemine. Teoloogid on seda märganud alates XNUMX sajandist. Matemaatikat tundev Johannes Paulus II kirjutas ja mainis seda mitu korda oma jutlustes – kahjuks on faktid minu mälust kustutatud.

Kooliteaduses on see esindatud Pythagoras kui teoreemi autor mingist sõltuvusest täisnurkses kolmnurgas. Nii sai sellest osa meie eurotsentrilisest filosoofiast. Ja ometi on Pythagorasel palju rohkem voorusi. Just tema pani oma õpilastele kohustuse "tunda maailma", "mis on selle mäe taga?" enne tähtede uurimist. Seetõttu "avastasid" eurooplased iidsed tsivilisatsioonid, mitte vastupidi.

Mõned lugejad mäletavadViète mustridja"; paljud vanemad lugejad mäletavad seda terminit kooliajast ja ligikaudu seda, et küsimus esines ruutvõrrandites. Need seaduspärasused on "ideoloogilised" krüpteerimine teavet.

Pole ime, et üks Francois Viette (1540-1603) tegeles Henry IV (esimene Prantsuse kuningas Bourbonite dünastiast, 1553-1610) õukonnas krüptograafiaga ja suutis lahti murda šifri, mida britid kasutasid sõjas Prantsusmaaga. Nii et ta mängis sama rolli kui Poola matemaatikud (eesotsas Marian Rejewskiga), kes avastasid Saksa Enigma šifreerimismasina saladused enne Teist maailmasõda.

moeteema

Täpselt nii. Teema "koodid ja šifrid" on õppetöös ammu moes. Olen sellest juba mitu korda kirjutanud ja kahe kuu pärast on uus sari. Seekord kirjutan filmi mulje all 1920. aasta sõjast, kus võit tuli suuresti tänu bolševike vägede koodeksi murdmisele tollase noore meeskonna poolt. Vaclav Sierpinski (1882-1969). Ei, see pole veel Enigma, see on lihtsalt sissejuhatus. Meenub stseen filmist, kus Józef Piłsudski (keda kehastab Daniil Olbrychski) ütleb šifriosakonna juhatajale:

Dekodeeritud sõnumid kandsid olulist sõnumit: Tuhhatševski väed ei saa toetust. Võite rünnata!

Tundsin Vaclav Sierpinskit (kui nii võib öelda: olin noor tudeng, tema kuulus professor), käisin tema loengutel ja seminaridel. Ta jättis närtsinud õpetlase mulje, hajameelne, oma distsipliiniga hõivatud ega näe teist maailma. Ta pidas loenguid spetsiaalselt, näoga tahvli poole, mitte vaatajate poole, kuid tundis end väljapaistva spetsialistina. Nii või teisiti olid tal teatud matemaatilised võimed – näiteks ülesannete lahendamiseks. On ka teisi, teadlasi, kes suudavad mõistatusi suhteliselt halvasti lahendada, kuid kellel on sügav arusaam kogu teooriast ja nad on võimelised algatama terveid loovuse valdkondi. Meil on mõlemat vaja – kuigi esimene liigub kiiremini.

Vaclav Sierpinski ei rääkinud kunagi oma saavutustest 1920. aastal. Kuni 1939. aastani tuli seda kindlasti saladuses hoida ja pärast 1945. aastat ei nautinud Nõukogude Venemaaga sõdinud toonaste võimude kaastunnet. Minu veendumus, et teadlasi on vaja nagu armeed, on tõestatud: "igaks juhuks". Siin on president Roosevelt, kes helistab Einsteinile:

Silmapaistev vene matemaatik Igor Arnold ütles avameelselt ja nukralt, et sõjal oli suur mõju matemaatika ja füüsika arengule (radaril ja GPS-il oli ka sõjaline päritolu). Ma ei lasku aatomipommi kasutamise moraalsesse aspekti: siin on sõja pikenemine aastaks ja mitme miljoni oma sõduri hukkumine – seal on süütute tsiviilisikute kannatused.

***

Ma põgenen tuttavatele aladele - k. Paljud meist mängisid koodidega, võib-olla skautimas, võib-olla niisama. Lihtsad šifrid, mis põhinevad tähtede teiste tähtede või muude numbritega asendamise põhimõttel, lähevad rutiinselt katki, kui tabame vaid mõne vihje (näiteks arvame ära kuninga nime). Tänapäeval aitab ka statistiline analüüs. Veelgi hullem, kui kõik on muutuv. Aga kõige hullem on see, kui regulaarsust pole. Mõelge koodile, mida on kirjeldatud raamatus „Hea sõduri Šveigi seiklused“. Võtke raamat, näiteks "Ujutus". Siin on soovitused esimesel ja teisel leheküljel.

Tahame kodeerida sõna "KASS". Avame 1. leheküljel ja järgmisel sekundil. Leiame, et 1. leheküljel on K-täht esmalt 59. kohal. Viiekümne üheksanda sõna leiame vastupidiselt, teiselt poolt. See on "a" sõna. Nüüd on täht O. Vasakul on 16. sõna ja kuueteistkümnes paremal on "Mr." T-täht on 95. kohal, kui ma õigesti lugesin, ja üheksakümne viies sõna paremalt on "o". Niisiis, KASS = 1 ISSAND O.

"Arvamatu" šifr, kuigi valusalt aeglane nii krüpteerimiseks kui ka ... arvamiseks. Oletame, et tahame edastada M-tähe. Saame kontrollida, kas me kodeerime selle sõnaga "Wołodyjowski". Ja pärast meid valmistavad nad juba ette vangikongi. Saame loota ainult asendusele! Lisaks märgib vastuluure salatöötajate teateid, et kliendid on mõnda aega meelsasti ostnud The Foodi esimest köidet.

Minu artikkel on panus sellesse väitekirja: isegi matemaatikute kõige veidramad ideed leiavad rakendust laialt mõistetavas praktikas. Näiteks, kas on võimalik ette kujutada vähem kasulikku matemaatilist avastust kui ... 47-ga jagamise test?

Millal me seda elus vajame? Ja kui nii, siis on lihtsam proovida seda eraldada. Kui jagab, siis on hea, kui ei, siis ... teiseks on hea (teame ju, et ei jaga).

Kuidas jagada ja miks

Pärast seda sissejuhatust liigume edasi: Kas teie, lugejad, teate mingeid jagatavuse märke? Kindlasti. Paarisarvud lõpevad 2, 4, 6, 8 või nulliga. Arv jagub kolmega, kui selle numbrite summa jagub kolmega. Samamoodi üheksaga jaguvuse märgiga - numbrite summa peab jaguma üheksaga.

Kellele seda vaja on? Ma valetaksin, kui veenaksin Lugejat, et ta sobib kõigeks muuks kui... koolitöödeks. Noh, ja veel üks 4-ga jaguvuse tunnus (ja mis see on, Lugeja? Võib-olla kasutate seda siis, kui soovite teada, mis aastale järgmine olümpiaad langeb ...). Aga jagatavus 47-ga? See on juba peavalu. Kas me saame kunagi teada, kas miski jagub 47-ga? Kui jah, siis võta kalkulaator ja vaata.

See. Sul on õigus, Lugeja. Ja veel, loe edasi. Palun.

47-ga jagamise tõend: Arv 100+ jagub 47-ga siis ja ainult siis, kui 47 jagub +8-ga.

Matemaatik naeratab rahulolevalt: "Gee, ilus." Aga matemaatika on matemaatika. Tõendid on olulised ja me pöörame tähelepanu nende ilule. Kuidas tõestada oma omadust? See on väga lihtne. Lahutage 100-st + arvust 94 - 47 = 47 (2 -). Saame 100+-94+47=6+48=6(+8).

Oleme lahutanud arvu, mis jagub 47-ga, seega kui 6 (+ 8) jagub 47-ga, siis on ka 100 +. Kuid arv 6 on koaprime 47-le, mis tähendab, et 6 (+ 8) jagub 47-ga siis ja ainult siis, kui see on + 8. Tõestuse lõpp.

Vaatame Mõned näited.

8805685 jagub 47-ga? Kui me oleme sellest tõesti huvitatud, saame sellest varem teada, lihtsalt jagades meid nii, nagu meile algkoolis õpetati. Nii või teisiti on nüüd igas mobiiltelefonis kalkulaator. Jagatud? Jah, era 187355.

Noh, vaatame, mida jagavuse märk meile ütleb. Ühendame kaks viimast numbrit lahti, korrutame need 8-ga, lisame tulemuse "kärbitud numbrile" ja teeme sama tulemuseks saadud numbriga.

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.

Näeme, et 94 jagub 47-ga (jagatis on 2), mis tähendab, et ka algarv jagub. Suurepärane. Aga mis siis, kui lõbutseme edasi?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Nüüd peame lõpetama. Nelikümmend seitse jagub 47-ga, eks?

Kas me tõesti peame lõpetama? Mis siis, kui läheme kaugemale? Issand jumal, kõike võib juhtuda... Ma jätan üksikasjad vahele. Võib-olla alles algus:

47 → 0 + 8 47 = 376 → 3 + 8 76 = 611 → 6 + 8 11 = 94 → 0 + 8 94 = 752.

Kuid kahjuks tekitab see sama sõltuvust kui seemnete närimine ...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ah, nelikümmend seitse. See juhtus enne. Mis järgmiseks? . Sama. Numbrid käivad sellises ahelas:

See on tõesti huvitav. Nii palju silmuseid.

kaks järgmisi näiteid.

Tahame teada, kas 10017627 jagub 47-ga. Milleks meil neid teadmisi vaja on? Peame meeles põhimõtet: häda teadmistele, mis teadjat ei aita. Teadmised on alati millegi jaoks olemas. See on millegi jaoks, aga nüüd ma ei selgita. Veel paar kontot:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

"Ta muutis oma onu kirvest pulgaks." Mida me sellest kõigest saame?

Noh, kordame menetluse käiku. See tähendab, et me jätkame seda (st sõna "itereeri").

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Lõpetame mängu, jagame nagu koolis (või kalkulaatoril): 235 = 5 47. Bingo. Algne number 10017627 jagub 47-ga.

Braavo meile!

Mis siis, kui läheme kaugemale? Usu mind, saate seda kontrollida.

Ja veel üks huvitav fakt. Tahame kontrollida, kas 799 jagub 47-ga. Kasutame jaguvusfunktsiooni. Ühendame kaks viimast numbrit lahti, korrutame saadud arvu 8-ga ja lisame sellele, mis jääb:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Mis meil on? Kas 799 jagub 47-ga siis ja ainult siis, kui 799 jagub 47-ga? Jah, see on õige, aga selleks pole matemaatikat vaja!!! Õli on õline (vähemalt see õli on õline).

Lehest, piraatidest ja naljade lõpust!

Veel kaks lugu. Kuhu on parim koht lehe peitmiseks? Vastus on ilmne: metsas! Aga kuidas seda siis leida?

Teine, mida teame ammu lugenud piraatide kohta käivatest raamatutest. Piraadid koostasid kaardi kohast, kuhu nad aarde matsid. Teised kas varastasid selle või võitsid võitluse. Kuid kaardil ei olnud märgitud, millisele saarele see mõeldud on. Ja otsi ise! Muidugi tulid piraadid selle (piinamisega) toime – ka šifreid, millest ma räägin, saab selliste meetoditega välja tõmmata.

Naljade lõpp. Lugeja! Loome šifri. Olen salaluuraja ja kasutan oma kontaktkastina "Noortehnikut". Saatke mulle krüpteeritud sõnumid järgmiselt.

Esmalt teisendage tekst numbrite jadaks, kasutades koodi: AB CDEFGH IJ KLMN OP RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Nagu näete, me ei kasuta poola diakriitikat (st ilma ą, ę, ć, ń, ó, ś) ja mittepoolakeelseid q, v - kuid mittepoola x on igaks juhuks olemas. Lisame tühikuks (sõnade vahele) veel 25. Oh, kõige tähtsam asi. Palume rakendada koodi nr 47.

Teate, mida see tähendab. Lähed sõbra matemaatiku juurde.

Sõbra silmad läksid üllatusest suureks.

Sa vastad uhkelt:

Matemaatik annab teile selle omaduse... ja te juba teate, et krüpteerimiseks kasutatakse silmapaistmatu välimusega funktsiooni

sest selline muster on kirjeldatud tegevus

100 + → + 8.

Seega, kui soovite teada, mida number tähendab, näiteks 77777777 krüptitud sõnumis, kasutage funktsiooni

100 + → +8

kuni saate numbri vahemikus 1 kuni 25. Nüüd vaadake selgesõnalist tähtnumbrilist koodi. Vaatame: 77777777 →… Jätan selle teie ülesandeks. Aga vaatame, mida peidab 48. täht? Loeme:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Siis saame omakorda:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432…

Lõppu ei paista. Alles pärast kuuekümnendat (!) aega ilmub arv, mis on väiksem kui 25. See on 3, mis tähendab, et 48 on täht C.

Ja mida see sõnum meile annab? (Tahan teile meelde tuletada, et kasutame koodinumbrit 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 373 – 1234567 341

No mõelge, mis seal keerulist on, mõned kontod. Oleme alustanud. 80. aasta alguses. Tuntud reegel:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

See jätkub nii:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Sööma! Sõnumi esimene täht on K. Phew, lihtne, aga kaua see aega võtab?

Vaatame ka, kui palju häda peab olema numbriga 1234567. Alles kuueteistkümnendal korral saame numbri alla 25, nimelt 12. Seega 1234567 on L.

Okei, võib öelda, aga see aritmeetiline tehe on nii lihtne, et arvutis programmeerimine rikub koodi koheselt. Jah, see on tõsi. Need on lihtsad arvutiarvutused. idee koos avalik šifr ja see on ka arvutuste tegemise arvuti jaoks keeruliseks muutmine. Las töötab vähemalt sada aastat. Kas ta dekrüpteerib sõnumi? Vahet pole. See ei loe kauaks. See on (enam-vähem) see, mida avalikud šifrid puudutavad. Need võivad puruneda, kui töötate väga pikka aega ... kuni uudised pole enam asjakohased.

 see on alati sünnitanud "vasturelvi". Kõik sai alguse mõõgast ja kilbist. Salateenistused maksavad andekatele matemaatikutele tohutuid rahasummasid, et nad leiutaksid krüpteerimismeetodeid, mida arvutid (sealhulgas meie loodud) ei suuda XNUMX sajandil murda.

kahekümne teisel sajandil? Polegi nii raske teada, et maailmas on juba palju inimesi, kes elavad sellel kaunil sajandil!

Oh ah? Mis siis, kui ma palun (mina, salaametnik, kellega "noor tehnik" võttis ühendust) krüpteerida koodiga 23? või 17? Lihtne:

Äkki me ei peaks kunagi sellistel eesmärkidel matemaatikat kasutama.

***

Artikli pealkiri räägib luulest. Mis tal sellega pistmist on?

Nagu mis? Ka luule krüpteerib maailma.

Kuidas?

Nende meetodite järgi - sarnased algebralistega.