Värvilised ruudud ja päikesevarjutused
Artiklis kirjeldatakse minu tunde keskkooliõpilastele - riikliku lastefondi stipendiaatidele. Sihtasutus otsib eriti andekaid lapsi ja noori (algkooli XNUMX. klassist gümnaasiumini) ning pakub valitud õpilastele "stipendiume". Need ei seisne aga sugugi mitte sularaha väljavõtmises, vaid igakülgses hoolduses talentide arendamise eest reeglina paljude aastate jooksul. Erinevalt paljudest teistest seda tüüpi projektidest võtavad fondi hoolealuseid tõsiselt nii tuntud teadlased, kultuuritegelased, silmapaistvad humanistid ja teised targad inimesed kui ka mõned poliitikud.
Sihtasutuse tegevus laieneb kõigile põhikooli õppeaineteks olevatele erialadele, välja arvatud sport, sh kunst. Fond loodi 1983. aastal tollase reaalsuse vastumürgina. Fondi võivad kandideerida kõik soovijad (tavaliselt kooli kaudu, soovitavalt enne õppeaasta lõppu), aga loomulikult on kindel sõel, teatud kvalifitseerimise kord.
Nagu ma juba mainisin, põhineb artikkel minu meistrikursustel, täpsemalt Gdynias märtsis 2016 III keskkooli 24. keskkoolis. Merevägi. Neid seminare on fondi egiidi all aastaid korraldanud erakordse karisma ja kõrge intellektuaalse tasemega õpetaja Wojciech Thomalczyk. 2008. aastal pääses ta Poolas esikümnesse, kellele omistati pedagoogikaprofessori tiitel (see oli seadusega ette nähtud aastaid tagasi). Väites: “Haridus on maailma telg” on väike liialdus.
ja kuu on alati paeluvad – siis on tunda, et elame pisikesel planeedil tohutus ruumis, kus kõik on liikumises, mõõdetuna sentimeetrites ja sekundites. See isegi hirmutab mind natuke, ka ajaperspektiiv. Saame teada, et järgmine täielik päikesevarjutus, mis on nähtav tänase Varssavi piirkonnast, toimub ... 2681. Huvitav, kes seda näeb? Päikese ja Kuu näiv suurus meie taevas on peaaegu sama – seepärast on varjutused nii lühikesed ja nii suurejoonelised. Nendest lühikestest minutitest peaks sajandeid piisama, et astronoomid näeksid päikesekrooni. Kummaline, et need juhtuvad kaks korda aastas... aga see tähendab ainult seda, et kusagil Maal võib neid näha lühikest aega. Loodete liikumise tulemusena eemaldub Kuu Maast – 260 miljoni aasta pärast on see nii kaugel, et meie (me???) näeme vaid rõngakujulisi varjutusi.
Ilmselt esimene, kes ennustas varjutus, oli Thales Mileetusest (28-585 saj eKr). Tõenäoliselt ei saa me teada, kas see ka päriselt juhtus, see tähendab, kas ta ennustas seda, sest asjaolu, et varjutus Väike-Aasias toimus 567. mail 566 eKr, on fakt, mida kinnitavad tänapäevased arvutused. Muidugi tsiteerin andmeid tänase ajaarvestuse kohta. Lapsena kujutasin ette, kuidas inimesed aastaid lugesid. Nii et see on näiteks XNUMX eKr, tulemas on aastavahetus ja inimesed rõõmustavad: ainult XNUMX aastat eKr! Kui õnnelikud nad võisid olla, kui "meie ajastu" lõpuks saabus! Millist aastatuhandete vahetust kogesime paar aastat tagasi!
Kuupäevade ja vahemike arvutamise matemaatika varjutused, ei ole eriti keeruline, kuid on täis kõikvõimalikke tegureid, mis on seotud regulaarsusega ja mis veelgi hullem, keha ebaühtlase liikumisega orbiitidel. Tahaks isegi seda matemaatikat teada. Kuidas sai Mileetose Thales teha vajalikud arvutused? Vastus on lihtne. Sul peab olema taevakaart. Kuidas sellist kaarti teha? See pole ka keeruline, iidsed egiptlased teadsid, kuidas seda teha. Südaööl väljuvad kaks preestrit templi katusele. Igaüks neist istub maha ja joonistab seda, mida näeb (nagu tema kolleeg). Kahe tuhande aasta pärast teame planeetide liikumisest kõike ...
Ilus geomeetria või lõbus "vaibal"
Kreeklastele numbrid ei meeldinud, nad kasutasid geomeetriat. Seda me teemegi. Meie varjutus need on lihtsad, värvilised, kuid sama huvitavad ja tõelised. Me nõustume kokkuleppega, et sinine kujund liigub nii, et see varjutab punase kuju. Nimetagem sinist kuju kuud ja punast kuju päikeseks. Esitame endale järgmised küsimused:
- kui kaua kestab varjutus;
- kui pool sihtmärgist on kaetud;
Riis. 1 Mitmevärviline "vaip" päikese ja kuuga
- milline on maksimaalne katvus;
- kas on võimalik analüüsida kilbi katte sõltuvust ajast? Selles artiklis (mind piirab teksti hulk) keskendun teisele küsimusele. Selle taga on kena geomeetria, võib-olla ilma igavate arvutusteta. Vaatame joonist fig. 1. Kas võib eeldada, et seda seostatakse ... päikesevarjutusega?
Pean ausalt ütlema, et ülesanded, mida ma käsitlen, on spetsiaalselt valitud, kohandatud kesk- ja gümnaasiumiõpilaste teadmistele ja oskustele. Aga me treenime selliste ülesannete peal, et muusikud mängivad skaalasid ja sportlased teevad üldarendusharjutusi. Pealegi, kas see pole lihtsalt ilus vaip (joon. 1)?
Riis. 2 "Sinine" Kuu ja "Punane" Päike
Meie taevakehad on vähemalt esialgu värvilised ruudud. Kuu on sinine, päike on punane (parim värvimiseks). olevikuga varjutus Kuu ajab päikest üle taeva taga, jõuab järele ... ja sulgeb selle. Nii saab olema ka meiega. Lihtsaim juhtum, kui Kuu liigub Päikese suhtes, nagu on näidatud joonisel fig. 2. Varjutus algab siis, kui Kuu ketta serv puudutab Päikese ketta serva (joonis 2) ja lõpeb, kui see läheb sellest kaugemale.
Riis. 3 Kuu läheneb päikesele diagonaalselt
Eeldame, et "Kuu" liigub ühe raku ajaühiku kohta, näiteks minutis. Varjutus kestab siis kaheksa ajaühikut, näiteks minutit. Pool päikesevarjutused täiesti tuhm. Pool sihverplaadist suletakse kaks korda: 2 ja 6 minuti pärast. Protsentuaalne varjamise graafik on lihtne. Esimese kahe minuti jooksul sulgub kilp ühtlaselt kiirusega null kuni 1, järgmise kahe minuti jooksul eksponeeritakse sama kiirusega.
Siin on huvitavam näide (joonis 3). Kuu läheneb päikesele diagonaalselt. Meie minutimakse lepingu järgi kestab varjutus 8√2 minutit – selle aja keskel on meil täielik varjutus. Arvutame välja, milline osa päikesest on aja t pärast kaetud (joonis 3). Kui varjutuse algusest on möödunud t minutit ja selle tulemusena on Kuu selline, nagu on näidatud joonisel fig. 5, siis (tähelepanu!) Seetõttu on see kaetud (ruudu APQR pindala), mis on võrdne poolega päikesekettast; seetõttu kaeti see siis, kui s.t. 4 minuti pärast (siis 4 minutit enne varjutuse lõppu).
Riis. 4 "Varjutus" funktsiooni graafik
Totaalsus kestab ühe hetke (t = 4√2) ja funktsiooni "varjutatud osa" graafik koosneb kahest parabooli kaarest (joonis 4).
Meie sinine kuu puudutab nurka punase päikesega, kuid see katab selle, mitte diagonaalselt, vaid veidi diagonaalselt. Huvitav geomeetria ilmneb siis, kui liigutamist veidi keerulisemaks teeme (joonis 6). Liikumissuund on nüüd vektor [4,3], see tähendab "neli rakku paremale, kolm rakku üles". Päikese asend on selline, et varjutus algab (asend A), kui "taevakehade" küljed lähenevad veerandile nende pikkusest. Kui Kuu liigub asendisse B, varjutab see kuuendiku Päikesest ja asendis C pool. Asendis D on meil täielik varjutus ja siis läheb kõik tagasi, "nagu oli".
Riis. 5 Osa Päikesest peidetud ajal t
Varjutus lõpeb, kui Kuu on asendis G. See kestis nii kaua kui sektsiooni pikkus AG. Kui võtta nagu varemgi ajaühikuks aeg, mille jooksul Kuu läbib "ühe ruudu", siis on AG pikkus võrdne. Kui läheksime tagasi vana kokkuleppe juurde, et meie taevakehad on 4 korda 4, oleks tulemus teistsugune (mis?). Nagu seda on lihtne näidata, suletakse sihtmärk pärast t < 15. Funktsiooni "ekraani katvuse protsent" graafik on näha joonisel fig. 6.
Riis. 6 Funktsiooni "protsenti kaitse" graafik
Varjutuse ja hüppe võrrand
Riis. 7 Päikeseketta takistus joonisel fig. kujutatud varjutuse ajal. 6
Varjutuste probleem oleks puudulik, kui me ei võtaks arvesse ringide juhtumit. See on palju keerulisem, kuid proovime aru saada, millal üks ring varjutab poole teisest – ja kõige lihtsamal juhul, millal üks neist liigub mööda mõlemat ühendavat läbimõõtu. Joonis on mõne krediitkaardi omanikele tuttav.
Väljade asukoha arvutamine on keeruline, kuna see nõuab esiteks ringikujulise lõigu pindala valemi tundmist, teiseks nurga kaare tundmist ja kolmandaks (ja mis kõige hullem) oskust teatud hüppevõrrandi lahendamiseks. Ma ei hakka selgitama, mis on "transitiivne võrrand", vaatame näidet (joonis 8).
Riis. 8 "Sfääriline" varjutus
Ringlõik on "kauss", mis jääb alles pärast sirgjoonega ringi lõikamist. Sellise segmendi pindala on S = 1/2r2(φ-sinφ), kus r on ringi raadius ja φ on kesknurk, millel segment toetub (joonis 8). Seda on lihtne saada, lahutades kolmnurga pindala ringikujulise sektori pindalast.
Episood O1O2 (ringide keskpunktide vaheline kaugus) on siis võrdne 2rcosφ/2 ja kõrgus (laius, “vööjoon”) h = 2rsinφ/2. Seega, kui tahame arvutada, millal Kuu katab poole päikesekettast, peame lahendama võrrandi: mis pärast lihtsustamist muutub:
Riis. 9 Kahe funktsiooni graafikud
Selliste võrrandite lahendamine läheb lihtsast algebrast kaugemale – võrrand sisaldab nii nurki kui ka nende trigonomeetrilisi funktsioone. Võrrand on väljaspool traditsiooniliste meetodite ulatust. Sellepärast seda kutsutaksegi hüpata. Vaatame esmalt mõlema funktsiooni ehk funktsioonide ja funktsioonide graafikuid Sellelt jooniselt saame välja lugeda ligikaudse lahendi. Siiski võime saada iteratiivse ligikaudse hinnangu või… kasutada Exceli arvutustabeli valikut Lahendaja. Iga gümnaasiumiõpilane peaks sellega hakkama saama, sest käes on 20. sajand. Kasutasin keerukamat Mathematica tööriista ja siin on meie lahendus XNUMX kümnendkoha tarbetu täpsusega:
SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.
Riis. 10 Varjutuse animatsioon matematicas
Muudame selle kraadideks, korrutades 180/π-ga. Saame 132 kraadi, 20 minutit, 45 ja veerand kaaresekundit. Arvutame, et kaugus ringi keskpunktist on O1O2 = 0,808 raadiusega ja "vöökoht" 2,310.
